小學數學驗證教學的必要前提和多元方法試探

馮懷勇

【摘要】有效的驗證教學不僅能使學生自主檢查以核對數學得數或結論，還能培養學生的再認、創新和可逆等思維，深化個體數學理解，養成嚴謹細致的思維習慣。因此，教師絕不可忽視驗證教學，應準確把握和提供驗證教學的必要前提，引導學生力求拓展，運用多元化的驗證方法，發展數學思考，追求驗證教學效益的最大化。

【關鍵詞】驗證；教學；前提；方法

課堂觀察發現，部分教師雖然通過組織教學反饋活動，讓學生知道了一個算式的得數或結果對不對，但由于對于“為什么對或不對”“怎樣才能知道對不對”等問題的教學認識和實踐操作不夠，導致驗證教學常常不落實或“走過場”。 驗證是小學生學習數學的必要認知思考方式之一，教師絕不能輕視。有效的驗證教學不僅是為了確認一個數學得數正不正確，還應使學生學會靈活運用驗證方法，起到促成學生自主化的驗證行為，培養個體科學思維品質、積累驗證經驗的效果。

一、有效驗證的教學前提

要爭取驗證教學效益最大化，實現教學活動效果最優化，關鍵在于教師要把握學情，深度研究教材，改進教法，為驗證教學的有效實施提供前提條件，使驗證教學活動從一開始實施就顯出其意義。

1.明確驗證教學的多元目標

教學前，科學設置驗證教學目標，使課堂中的驗證活動指向更明確、更有效。教師應立足教材，通過適當的途徑，確定驗證教學的適宜目標。首先，驗證教學目標的確立要基于教材。研讀教材發現，有些驗證活動被安排在新知探究環節，教師應關注教材中提出的思考問題，引導學生經歷“猜想—驗證”的活動過程，使學生自主發現數學規律或結論；有些驗證活動穿插在解題環節中，教師應留意教材中布置的檢驗活動，使學生自覺養成驗算的習慣；有些驗證活動編進了書后練習中，教師應解讀教材的練習設置意圖，使學生通過驗證練習深化知識理解。其次，驗證教學目標的確立應不限于教材安排，甚至可以超越教材。教師應根據班級學生的學情，延伸拓展關于驗證教學的目標和要求，使驗證教學不只達成知識目標，還實現過程、情感等多元目標，以不斷提升學生的數學素養。

2.考查學生已有的驗證能力

學生的驗證能力和水平，直接影響驗證活動的有效開展。課堂研究發現，大凡學生能獨立思考并想出兩種及以上的驗證方法，使用的驗證方法有所創新，即表明該學生的驗證能力處于較高水平。對此，實施驗證教學時，教師應通過課前問卷、課堂練習或課后檢測等途徑，考查和了解不同學生的思維特點和驗證水平。認清學生的能力水平，教師才能做出準確的教學判斷，形成有效的驗證活動過程設計。一方面，有利于教師對課堂中可能出現的驗證方法情況做出有效的預設，并據此優化和完善驗證教學的流程；另一方面，有利于教師把握驗證教學的起點，有針對性地選擇教學方式，以此強化學生在驗證活動中的自主性，促進個體的驗證經驗的增長。

3.找準課堂教學的驗證起點

教師要找準驗證教學的起點，以保證驗證活動的實施更順利。驗證教學的起點主要包括如下幾種：（1）思維起點——一個數學問題。催生學生內在驗證需求的可能是一個猜想問題、一個操作問題或一個檢驗要求等。教師應遵循學生認知規律，將上述數學問題作為學生認知思考的發起點，以此誘發個體內在的驗證需求；（2）行動起點——一個組織形式。驗證教學實施的組織形式，可以包括獨立思考、小組合作，交流討論等。教師應根據學生學習的行為特點，用一個合適的組織形式展開驗證活動。（3）策略起點——一個驗證方法。驗證的方法豐富多樣，按形態分，包括直觀驗證和抽象驗證；按性質分，包括正向驗證和反向驗證；按類型分，有計算、操作、舉例和統計等方法。因此，可以從一個有效的驗證方法入手，保證學生驗證活動的有效推進。

二、有效驗證教學的多元方法

有效的驗證教學要注意創設開放的空間，引發學生有深度、有內涵、有創新的數學思考，實現驗證方法、經驗和思想上的突破。驗證方法可以借助于舉例、估算、操作和筆算等多種途徑來實現積極拓展的發展性教學效益。

1.舉例驗證：既要判斷命題，也要學會對比思考

舉例驗證就是通過舉出有代表性、具體化的例子幫助分析說明的方法。例子一般包括“正例”和“反例”兩種。因此，舉例驗證的過程，應使學生學會從正反兩方面展開思考，舉出對比性強的例子，對數學命題做出辯證性的對比思考。例如：教學蘇教版五上《三角形的面積》一課，教學出示“兩個面積相等的三角形，一定能拼成一個平行四邊形”的判斷題。一般化的驗證過程，教師會將分析點鎖定在判斷“是否一定能拼成平行四邊形”上，要求學生舉出“面積相等、形狀不同的兩個三角形”的反例，由前提不充分推知該判斷是假命題。按照這一驗證思路教學，學生應能說出“不一定”，但想達到“有可能”的認知層面則顯得困難。有深度的驗證教學不但要借助反例來說明問題，還要讓學生舉出“面積相等、形狀相同的兩個三角形”的例子，從正面加以佐證。通過橫向對比不同性質的例子，使學生發現，只有形狀相同的等面積三角形，才能拼成平行四邊形，也促使他們產生“有的能拼成，有的不能拼成，應該是屬于存在著可能”的辯證性思考。

2.估算驗證：既要檢驗得數，也要深化算法理解

利用估算進行驗證時，教師不僅要通過估算檢驗得數是否準確，還應注意發揮估算本身“算”的功能，使學生通過估算鞏固口算、筆算，強化個體對算法的理解。例如：教學蘇教版三下《兩位數乘兩位數的筆算》一課，教材呈現了“一輛載重3000千克的卡車，裝了47桶豆油，每桶豆油連桶重58千克。這輛卡車超載了嗎？”的練習題，題目要求學生先估算卡車是否超載，再列豎式計算。教材的意圖是讓學生用估算的得數來檢驗筆算的結果。按常理，學生會用“取近似數”的估算方法得出“47×58”的結果大約是3000，并據此推斷卡車沒有超載。深度的估算不僅僅要能“取近似數”估算那么簡單，還要引導學生學會“取準確數”估算的驗證方法，即算出個位上的“7×8”和十位上的“4×5”的得數，將“取準確數”與“取近似數”估算的結果進行綜合，推算出“47×58”的得數最低位是“6”；最高位是“2”，而不可能是“3”。一旦學生經歷了“取準確數”估算驗證的過程，其對“從個位算起”“筆算過程注意進位”這樣的兩位數乘兩位數的筆算算法，就會有更為深刻的理解。

3.操作驗證：既要說明事實，也要促成方法創新

教學中，當學生對一個數學現象產生了疑問，或在認知上存在不確定時，使用操作能進一步證明學生先前認知的正確性，并誘發個體的創新思考。例如，教學《圖形放大與縮小》一課，課堂教學呈現“按2∶1的比例畫出直角三角形放大后的圖形”的練習題。畫圖時，學生基本會按照“先行放大直角三角形的兩條直角邊；接著，在放大后的兩條直角邊的端點處連線，形成放大后的斜邊”的步驟操作畫圖。因為斜邊是連線所得，其長度未經測算，因此，學生會對斜邊長度是否符合放大要求心存懷疑，進而產生驗證的心理需求。學生驗證斜邊是不是也按2∶1放大時，一般會測量出兩條斜邊長度，再算出長度比是不是2∶1。如此的驗證過程，可能存在數據誤差的干擾，在操作方法上顯得機械、呆板。對此，驗證教學可以引導學生進一步思考，探求能否不用量的方法來驗證斜邊確實也是以2∶1放大。這可以使得學生生成在直角三角形里數方格、平均分出小三角形等有一定創造性的多種驗證方法，從而加深他們對圖形放大與縮小的理解。

4.筆算驗證：既要檢驗筆算，也要啟發多樣算法

運用筆算驗證筆算時，教師應盡量避免將教學只聚焦于檢驗計算得數是否正確上，而應引導學生從算法上尋求突破口，追求檢驗算法的多樣化，以此鍛煉學生的逆向思維和發散思維。例如：教學蘇教版六下《解決問題的策略》一課，教材呈現了“星河小學美術組男生人數占總人數的2/5。已知女生有21人，男生有多少人”的教學例題。解題過程中，教學提出“根據數量關系列式計算，并進行檢驗”的要求。嘗試檢驗教學時，教師應引導學生形成正向檢驗，用算出的計算得數檢驗男生是否占2/3，用算出的計算得數，檢驗男生和女生人數的比是不是2∶3等；還可以引導學生做出逆向檢驗，將算出的計算得數代入方程式中進行檢驗。通過嘗試多種檢驗算法，學生不僅更加明確此題的數量關系，審視解題過程，還對解決問題需要合理選擇策略加深了認知理解。

在教學中，教師絕不能看淡學生的驗證活動，認為其是無足輕重、可有可無的，而應將驗證教學作為一個促進學生數學素養的重要途徑和不可忽略的發展契機，以發揮其獨特的思維培養功能和作用，使學生的舉例、操作、計算等方面的數學素養得到長足的提升。endprint