二階三階變系數線性微分方程可降階求解的一個充要條件

[摘 要] 給出二階三階變系數線性微分方程可解一個充要條件，參照一階線性微分方程常數變異解法給出二階三階變系數線性微分方程的一個通解公式并加以應用.

[關 鍵 詞] 變系數線性微分方程；充要條件；通解

[中圖分類號] O175 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）10-0168-02

力學、電學及其他工程技術中一個重要的解析工具是常系數線性微分方程，而在系數激勵振動、波導傳輸理論以及許多其他的實際應用問題中還經常會用到變系數線性微分方程，其解的研究將對有關問題的分析和應用大有幫助.實際上，變系數線性微分方程的求解困難重重，本文針對二階、三階變系數線性微分方程，給出其可降階求解的一個充要條件并進行了相關的應用.

一、預備知識

引理1：一階線性微分方程y′+P（x）y=Q（x），其中P（x），Q（x）是關于x的連續函數，其通解為y=■■Q（x）e■■dx+C，其中C∈R.

證明：由常數變易法可以證明其結論成立，證明過程略.

定義1：若P（x），Q（x），f（x）是關于x的連續函數，則稱方程

y″+P（x）y′+Q（x）=f（x） （1）

為二階變系數線性微分方程，若f（x）=0，則稱方程

y″+P（x）y′+Q（x）=0 （2）

為二階變系數齊次線性微分方程.

定義2：若a1（x），a2（x），a3（x），f（x）是關于x的連續函數，則稱方程

y″′+a1（x）y″+a2（x）y′+a3（x）y=f（x） （3）

為三階變系數線性微分方程，若f（x）≡0，則稱方程

y″′+a1（x）y″+a2（x）y′+a3（x）y=0 （4）

為三階變系數齊次線性微分方程.

二、主要結論

定理1：方程（1）可降價求解的充要條件是存在函數u（x），v（x）（其中u（x），v（x），u′（x）∈C），使得方程（1）中的系數P（x），Q（x）滿足以下關系P（x）=u（x）+v（x），Q（x）=u′（x）+u（x）v（x）.

證明：先證充分性

將P（x）=u（x）+v（x），Q（x）=u′（x）+u（x）v（x），代入方程（1）整理可得[y′+u（x）y]′+v（x）[y′+u（x）y]=f（x）

令y′+u（x）y=z，則上式轉化為z′+v（x）z=f（x），由引理1可得其解，將解代入y′+u（x）y=z，再次利用引理1即可求得方程（1）的解.

再證必要性

若方程（1）可解，則其齊次線性微分方程y″+P（x）y′+Q（x）=0可解，我們假設y=φ（x）是方程（2）的一個解，則有φ″（x）+P（x）φ′（x）+Q（x）φ（x）=0，整理得，Q（x）=-■-P（x）■=■′-■2-P（x）■，令F（x）=■，G（x）=■+2F （x）dx/■■dx，顯然F（x），G（x）∈C′，G（x）≠0，又■=-（P（x）+2F（x））-G（x），

所以P（x）=-F（x）+-G（x）-■-F（x），Q（x）=-F′（x）-F（x）-G（x）-■-F（x）

令u（x）=-F（x），v（x）=-G（x）-■-F（x），即可得P（x）=u（x）+v（x），Q（x）=u（x）+u′（x）v（x），必要性得證.

推論1：若方程（1）的系數P（x），Q（x）滿足定理1中的條件，則方程（1）的通解為

y=e■■■（x）e■■dxdx+Cdx+C1.

定理2：方程（3）可降階求解的充要條件是存在函數u（x），v（x），w（x）（其中u（x），v（x），v′（x），u（x）∈C），使得方程（3）的系數滿足以下關系：a1（x）=u+v+w，a2（x）=2u′+v′+uv+uw+vw，a3（x）=u′w+uvw+u″+u′v+uv′.

證明：略.

推論2：滿足定理2的方程（3）有以下形式的通解

y=e■■G（x）e■dx+C3，其中G（x）=e■[■F（x） ■dx+C2]，F（x）=e■■f（x）■dx+C1.

三、主要結論的應用

例1：求微分方程y″+2（x+1）y′+（x2+2x+1）y=e-■的通解.

解：由題可得P（x）=2x+2，Q（x）=x2+2x+1，令u（x）=x，v（x）=x+2，則P（x）Q（x）滿足定理1的條件，于是方程可解，由推論1可得其通解為y=C1e-■+C2e-■-2x+■xe-■.

例2：求微分方程x2y″+xy′-y=3x2的通解.

解：首先將方程轉化為y″+■y′-■y=3，其系數P（x）=■，Q（x）=■，令u（x）=■，v（x）=0，則其系數滿足定理1中的條件，所以方程可解。由推論1得方程的通解為y=x2+■C1+■.

例3：求微分方程y″+■y′+y=■的通解.

解：由題可知P（x）=■，Q（x）=1，f（x）■，令u（x）=■-cotx，v（x）=■+cotx，則其系數滿足定理1中的條件，方程可解。由推論1得方程的通解為y=■sinx-■C1+■C2.

例4：求微分方程xy″+2（1-x）y′+（x-2）y=2ex的通解.

解：首先將微分方程轉化為y″+2■-1y′+1-■y=■，其系數P（x）=2■-1，Q（x）=1-■，令u（x）=-1，v（x）=■-1，則其系數滿足2定理1中的條件，方程可解.

由推論1得其通解為y=exx-■+C2.

例5：求微分方程y″′-cosxy″+2sinx·y′+cosx·y=lnx的通解.

解：令u=-cosx，v=0，w=0，可知微分方程的系數滿足定理2，由推論2可得其通解為

y=esinx■-■+■+C2x+C3.

在前人研究的基礎上，本文給出二階三階變系數線性微分方程可降階求解的一個充要條件并推導出相應的通解公式，使微分方程的求解更方便、更快捷。更高階的變系數線性微分方程的可降階求解條件問題將在后續研究中討論.

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A Solvable Necessary and Sufficient Condition for the Second-order and Third-order

Liner Differential Equation with Variable Coefficients

WANG Xiao-hua

Abstract：On the basis of literature research， a sufficient condition for the solvability of the second-order third-order variable coefficient linear differential equation is given. With reference to the first-order linear differential equation constant variation method，a general solution formula of the second-order and third-order variable coefficient linear differential equation is given and applied.

Key words：second-order and third-order liner differential equation；necessary and sufficient condition；general solution