譜圖：讓學(xué)生的思維可視化

思維可視化可理解為：將原本不可見的思維路徑、方式、規(guī)律運(yùn)用圖示或圖示組合的方式呈現(xiàn)出來，以實(shí)現(xiàn)增強(qiáng)記憶及加深理解的效果。而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“思維可視化”就是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，在感知覺、表象、語言所提供的材料基礎(chǔ)上，將抽象的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)律、較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系等運(yùn)用形象的圖示、表格、動(dòng)畫、動(dòng)作等看得見的形式表示出來，從而達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象有一個(gè)形象、直觀、整體的認(rèn)識(shí)和理解。譜圖，可以讓學(xué)生的思維從隱性走向顯性，從抽象走向直觀。

一、數(shù)學(xué)圖示鏈接知識(shí)表象：讓思維可感

要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷具體形象的操作，學(xué)會(huì)與思維過程對(duì)應(yīng)的圖像或方法。指導(dǎo)學(xué)生在構(gòu)圖、讀圖、用圖中建立表象，體會(huì)、感悟圖中的信息與思維的過程，強(qiáng)化學(xué)生的感觀表象，在充分的感性體驗(yàn)中觀察、比較、分析、歸納，發(fā)展思維能力，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)思考，形成清晰的表象。

下面是一位教師教學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“復(fù)式統(tǒng)計(jì)表”中的一個(gè)片斷。

教師出示小小調(diào)查員調(diào)查4個(gè)班參加足球興趣小組的情況，先出示五（1）班的調(diào)查結(jié)果。在這張表中，只能看出五（1）班的情況，像這樣的表格就是以前所學(xué)的單式統(tǒng)計(jì)表。

師：想知道五（1）班和五（2）班，哪個(gè)班參加的人數(shù)多嗎？怎么辦？想知道哪個(gè)班參加足球興趣小組的男生人數(shù)最多嗎？（要同時(shí)看4張表）想知道4個(gè)班一共有多少人參加嗎？（要同時(shí)看4張表，還得計(jì)算）看來要進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，或了解更多信息，用這些單式統(tǒng)計(jì)表顯然不夠方便，有什么好的建議？

生：合并。

（自主探究，學(xué)生嘗試表格合并。小組內(nèi)討論，然后動(dòng)手操作，嘗試表格合并，展示部分小組合作成果。）

師：為什么可以省略第一行的性別及男女生呢？

生：重復(fù)了。

師：現(xiàn)在我們可以統(tǒng)計(jì)出男生總?cè)藬?shù)和女生總?cè)藬?shù)嗎？還需要進(jìn)行怎樣的修改？進(jìn)一步完善復(fù)式統(tǒng)計(jì)表。

幾個(gè)小組的學(xué)生都想到了要把重復(fù)的性別、合計(jì)、男女生這一行去掉，但去掉后問題來了：都變成了五（1）班足球興趣小組報(bào)名人數(shù)統(tǒng)計(jì)表。學(xué)生發(fā)現(xiàn)這一情況后，有的組改成了五（1）～（4），有的組直接寫成了五（1）、五（2）、五（3）、五（4），還有的組發(fā)現(xiàn)這里的人數(shù)不知道是哪一班的，于是在前面分別加上五年級(jí)（1～4）班，這就是學(xué)生真實(shí)的想法，是真實(shí)的思維過程。由單式統(tǒng)計(jì)表合并變成復(fù)式統(tǒng)計(jì)表，學(xué)生很難用語言去描述，但教師創(chuàng)造了這樣的一個(gè)動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)，激發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知需求，很自然地把幾個(gè)單式統(tǒng)計(jì)表合并成了一個(gè)復(fù)式統(tǒng)計(jì)表。學(xué)生在不知不覺中認(rèn)識(shí)了復(fù)式統(tǒng)計(jì)表，通過自己去嘗試、發(fā)現(xiàn)并解決了問題。在解決問題的過程中，學(xué)生的思維過程也借助于圖表動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn)了出來。

二、數(shù)學(xué)圖畫勾勒智力圖像：讓思維可視

所謂數(shù)學(xué)圖畫，是指以兒童的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與生活體驗(yàn)，通過其眼睛觀察、大腦思考、內(nèi)心情感的激發(fā)，并結(jié)合手、眼、腦的協(xié)同作用，借助圖畫的方法表示出對(duì)數(shù)學(xué)概念或計(jì)算方法的獨(dú)特理解，以及它們之間的本質(zhì)聯(lián)系。這種以圖式方式勾勒出數(shù)學(xué)思維的視覺符號(hào)，使隱性的知識(shí)顯性化、可視化，將理性的抽象過程形象化、視覺化，便于思考、交流和表達(dá)。

有一位教師是這樣設(shè)計(jì)“乘加乘減”的（二年級(jí)）。

師：秋天到了，樹上的果實(shí)成熟了，老師特地摘來一些水果請(qǐng)大家品嘗。

從下面這幅圖中，你能知道哪些條件？誰能根據(jù)這些條件提出一個(gè)數(shù)學(xué)問題？怎樣列式？

生：2+2+2=6，2×3=6 ，3×2=6。

師：2表示什么？3呢？2×3在這幅圖中表示幾個(gè)幾？

（接著出示：增加一個(gè)蘋果的圖片，如下圖所示）

師：現(xiàn)在要求一共有多少個(gè)蘋果，你會(huì)列式嗎？

（學(xué)生列出了下面算式：2+2+2+1 ，2×3+1 ，2×4-1。）

師：2×3表示什么？為什么還要加1？2表示什么？4呢？2×4在這幅圖中表示幾個(gè)幾？怎么會(huì)有4個(gè)2呢？

（根據(jù)學(xué)生回答，教師在最后一盤里添加另一種顏色的一個(gè)蘋果的圖片，同時(shí)指出，假設(shè)最后一個(gè)盤子里也有2個(gè)蘋果。）

師：為什么又要減1？

師：把最后一個(gè)盤子里假設(shè)成有2個(gè)蘋果，其實(shí)多加了1個(gè)，就應(yīng)該在后面把這1個(gè)減掉。（邊說邊拿掉這個(gè)不同顏色的蘋果）像這樣的算式就是我們今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容：乘加、乘減。（板書課題）

這位教師重視新舊知識(shí)的聯(lián)系，合理利用教材資源，創(chuàng)造性地用好教材、超越教材，是課程資源的促進(jìn)者和發(fā)展者。本課設(shè)計(jì)從復(fù)習(xí)乘法引入新知，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律與知識(shí)的發(fā)展邏輯，為學(xué)習(xí)乘加、乘減提供了堅(jiān)實(shí)的“錨樁”。學(xué)生天生在智力上存在差異，這種差異是由生活經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)水平、思維方式、能力差異等引起的，這種差異必然會(huì)導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)效果的高低優(yōu)劣。課堂中2×4-1，僅是幾個(gè)優(yōu)秀學(xué)生能想到的，一般學(xué)生不能理解這個(gè)抽象的過程。而作為課堂的組織者、引導(dǎo)者的教師在課堂教學(xué)中就應(yīng)該充分考慮學(xué)生的差異，照顧差異，關(guān)注每一位學(xué)生的發(fā)展，使不同的學(xué)生都能在原有的基礎(chǔ)上得到不同的發(fā)展。當(dāng)少數(shù)學(xué)生借助想象正確列式后，這位教師沒有一帶而過，而是在最后一盤里添加了一個(gè)蘋果，并且用其他顏色區(qū)分開來，可以使更多的學(xué)生借助實(shí)物圖，直觀完成抽象的想象過程。乘加學(xué)生比較好理解，一眼就能看出來了2×3+1，乘減教材安排在“想想做做”第一題，只有一道乘減算式，而本課教師將其前置，并以直觀的實(shí)物圖動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn)出來，巧妙地解決了學(xué)生認(rèn)識(shí)的具體性與知識(shí)的抽象性之間的的關(guān)系。本課教師善于在關(guān)鍵處點(diǎn)撥，2表示什么？4呢？2×4在這幅圖中表示幾個(gè)幾？怎么會(huì)有4個(gè)2呢？這一問“吹皺一池春水”“激起千層浪”，激起學(xué)生的深層次思考，學(xué)生的思維逐漸爬坡，思路慢慢拓展，最終觸及知識(shí)的本質(zhì)。

一個(gè)蘋果的價(jià)值是什么？在于教師的相機(jī)引導(dǎo)、巧妙點(diǎn)撥，在于教師找準(zhǔn)了學(xué)生認(rèn)知的生長(zhǎng)點(diǎn)，合理地選取了直觀形象的圖式，引發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。一節(jié)原本枯燥的計(jì)算課，通過一個(gè)不同顏色的蘋果，極大的豐富了學(xué)生想象的空間，學(xué)生充分理解并建構(gòu)了乘減算術(shù)的算理，在充分吸取知識(shí)的“芬芳”的同時(shí)也激活了孩子內(nèi)心深處的創(chuàng)造力。

三、數(shù)學(xué)圖譜繪出概念意象：讓思維可聯(lián)

數(shù)學(xué)圖譜可以整合學(xué)習(xí)內(nèi)容，幫助學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，并以圖譜的形式展現(xiàn)知識(shí)、方法之間的聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)的重組與生成，形成概念意象。作為一種元認(rèn)知策略，可以有效地提高學(xué)生的觀察比較能力、思辨對(duì)比能力、自學(xué)反思與抽象概括能力。

數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)嚴(yán)格的演繹系統(tǒng)，但是在現(xiàn)有的教學(xué)中，往往為了學(xué)習(xí)的需要把這個(gè)系統(tǒng)分割成一個(gè)單元一個(gè)課時(shí)一個(gè)內(nèi)容來展開。所以，我們需要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)的圖譜來促進(jìn)自我認(rèn)知的完善，把所學(xué)概念、公式、法則、規(guī)律融會(huì)貫通，系統(tǒng)整理其內(nèi)在聯(lián)系，讓數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)成網(wǎng)，讓學(xué)生在不斷地聯(lián)系中發(fā)展思維，形成結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的思維。這就需要整體架構(gòu)，系統(tǒng)整理，凸顯體系。現(xiàn)以“平面圖形的面積”為例。

復(fù)習(xí)中先讓學(xué)生對(duì)平面圖形面積計(jì)算進(jìn)行梳理，小組交流后形成了初步的結(jié)構(gòu)，課堂上請(qǐng)學(xué)生對(duì)以下問題進(jìn)行交流與反思完善。

（1）這些平面圖形的面積怎樣計(jì)算？公式是什么？

（2）面積又是怎樣推導(dǎo)的？在推導(dǎo)過程中運(yùn)用了哪些策略？（平移、旋轉(zhuǎn)、化曲為直等轉(zhuǎn)化策略）

（3）你為什么將這些平面圖形這樣來安排層次，它們之間有哪些聯(lián)系？你認(rèn)為哪個(gè)圖形最關(guān)鍵？

（4）用你喜歡的方式把知識(shí)之間的聯(lián)系整理出來。

在這組問題中抓了兩個(gè)主要問題讓學(xué)生體驗(yàn)：其一是結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，即為什么是這樣來梳理，結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)是什么。其二是結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)中運(yùn)用了什么策略，即可以怎樣來梳理聯(lián)系。在變與不變中幫助學(xué)生利用結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的思維方式組織認(rèn)識(shí)，在比較分析中實(shí)現(xiàn)對(duì)平面圖形計(jì)算的整體架構(gòu)。（附：學(xué)生整理的圖式）

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是一個(gè)知識(shí)學(xué)習(xí)的過程，同時(shí)也是數(shù)學(xué)思維的形成過程。在數(shù)學(xué)課堂上，教師要密切關(guān)注學(xué)生的思維過程，大膽嘗試“譜圖”——讓學(xué)生的“思維可視化”的教學(xué)實(shí)踐模式，積極鼓勵(lì)并指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多種呈現(xiàn)方式將思維的過程展現(xiàn)出來，進(jìn)而促進(jìn)其抽象思維到形象思維的再現(xiàn)、分析思維和直覺思維的理性融合。

（作者單位：江蘇省鹽城市實(shí)驗(yàn)小學(xué) ）

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）