不同驅(qū)動(dòng)力下物理擺運(yùn)動(dòng)研究

物理擺動(dòng)是生活中最常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)。大家都知道，物理現(xiàn)象普遍存在我們的生活中。基本的物理擺動(dòng)包括簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)、阻尼運(yùn)動(dòng)、受迫運(yùn)動(dòng)等等。對(duì)于生活中典型的擺動(dòng)，運(yùn)用基礎(chǔ)的物理知識(shí)，分析及運(yùn)算，得出正確的答案和模擬方案。然后用簡(jiǎn)單的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言，充分、形象的描述這個(gè)擺動(dòng)過(guò)程中各個(gè)時(shí)期的擺動(dòng)狀況，是我們這次研究的最主要目的。

物理擺動(dòng)普遍存在于生活中。因?yàn)橛蟹N種外有作用力的存在，運(yùn)用能量守恒的知識(shí)我們便可發(fā)現(xiàn)，對(duì)于我們生活在地球上來(lái)說(shuō)，永恒的擺動(dòng)是不可存在的。簡(jiǎn)單的概括，可以包括：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)、阻尼運(yùn)動(dòng)和受迫運(yùn)動(dòng)。本文中我們列舉了幾種不同驅(qū)動(dòng)力下不同物理擺動(dòng)的模擬，來(lái)一個(gè)個(gè)認(rèn)知我們生活中的這些物理擺動(dòng)。借助于計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的輔助功能，能讓我們更清楚全面的了解物理擺動(dòng)。

1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

1.1 理想條件下的單擺模擬

1.1.1 理想模型

理想模型是為了便于研究而建立的一種高度抽象的理想客體。更是為了方便實(shí)驗(yàn)和利于計(jì)算按實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，主觀方面省去了很多阻礙實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，將它們?nèi)颗懦鲈谕狻?/p>

1.1.2 單擺的組成

假設(shè)單擺的繩子不可伸長(zhǎng)，且質(zhì)量不計(jì)，線長(zhǎng)又比球的直徑大得多。排除空氣阻力及其一切內(nèi)摩擦力，統(tǒng)一重力加速度 。當(dāng)單擺的最大擺角小于5°時(shí)，單擺的振動(dòng)近似為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。單擺運(yùn)動(dòng)的周期公式：

（1-1）

其中 指擺長(zhǎng)， 是當(dāng)?shù)刂亓铀俣取螖[做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期跟擺長(zhǎng)的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，跟振幅、擺球的質(zhì)量無(wú)關(guān)。

1.2 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程

簡(jiǎn)諧波是簡(jiǎn)諧振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播。波源沿y方向振動(dòng)，波在z軸上傳播的平面簡(jiǎn)諧波方程為：

（1-2）

式（2-2）描述了介質(zhì)中各體元在各時(shí)刻的振動(dòng)情形。當(dāng)變量 取一定值 時(shí)，方程只描述介質(zhì)中 處一個(gè)體元的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，式（1-2）變?yōu)椋?/p>

（1-3）

即為 處體元的振動(dòng)方程。

當(dāng)變量 取一定值 時(shí)，則方程所表達(dá)的是在 ，時(shí)刻介質(zhì)中各個(gè)體元的瞬時(shí)狀態(tài)。式（1-2）變?yōu)椋?/p>

（1-4）

即為 時(shí)刻的波形方程。

1.3 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)振幅時(shí)間圖像

設(shè)定單擺的周期為T(mén)，最大振幅為A，我們建立A關(guān)于T的一個(gè)函數(shù)，擬定程序后，計(jì)算機(jī)處理的圖像如下：

圖1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)振幅——時(shí)間圖像

由圖像可知，單擺在一個(gè)周期T完成了一次全振動(dòng)，之后重復(fù)振動(dòng)，這樣的運(yùn)動(dòng)我們叫做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

2 阻尼振動(dòng)

振動(dòng)系統(tǒng)的無(wú)阻尼振動(dòng)時(shí)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的理論抽象。如果現(xiàn)實(shí)世界沒(méi)有阻止運(yùn)動(dòng)的能力的話，整個(gè)世界將處在無(wú)休止的振動(dòng)中。客觀世界是和諧的，有振動(dòng)又有阻尼，保證了我們生活在一個(gè)相對(duì)安靜的世界里。本章中，我們對(duì)單擺施加一個(gè)空氣阻尼，來(lái)完成阻尼振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)?zāi)M。

2.1 空氣阻力

空氣阻力指空氣對(duì)運(yùn)動(dòng)物體的阻礙力，是運(yùn)動(dòng)物體受到空氣的彈力而產(chǎn)生的。空氣阻力跟速度的平方成正比，速度越大，空氣阻力越大。

根據(jù)空氣阻力的公式：

（2-1）

式中：C為空氣阻力系數(shù)； 為空氣密度；S物體迎風(fēng)面積；V為物體與空氣的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度。由上式可知，正常情況下空氣阻力的大小與空氣阻力系數(shù)及迎風(fēng)面積成正比，與速度平方成正比。

2.2 阻尼振動(dòng)微分方程

阻尼振動(dòng)微分方程：

（2-2）

單擺在受空氣阻尼的情況下，C表示空氣的阻尼系數(shù)，k可以用重力加速度g表示。考慮到單擺的初始條件，

（2-3）

解得： 。其中 （單擺系統(tǒng)的阻尼比）， （單擺系統(tǒng)的固有頻率）， （空氣阻尼系數(shù)）。

當(dāng) 不同，其他條件都相同時(shí)， 越大周期越長(zhǎng)，而初相位會(huì)越來(lái)越小，振幅改變的幅度越來(lái)越小。當(dāng)只有 改變時(shí)， 越大振幅改變的幅度越來(lái)越大，和周期和初相位無(wú)關(guān)系。當(dāng)只有 改變時(shí)， 越大初相位也越來(lái)越大，周期越來(lái)越小。

3 受迫振動(dòng)

3.1 簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)

簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)指激勵(lì)是時(shí)間簡(jiǎn)諧函數(shù)，它在工程結(jié)構(gòu)的振動(dòng)中經(jīng)常發(fā)生，它通常是由旋轉(zhuǎn)機(jī)械失衡造成的。簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)的理論是分析周期激勵(lì)以及非周期激勵(lì)下系統(tǒng)響應(yīng)的基礎(chǔ)。通過(guò)分析系統(tǒng)所受的簡(jiǎn)諧激勵(lì)與系統(tǒng)響應(yīng)的關(guān)系，可以估計(jì)測(cè)定系統(tǒng)的振動(dòng)參數(shù)，從而確定系統(tǒng)的振動(dòng)特性。

3.3 能量關(guān)系與等效阻尼

3.3.1 能量關(guān)系

從能量角度看，簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)全過(guò)程有點(diǎn)像汽車(chē)的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)在一個(gè)周期內(nèi)外力對(duì)系統(tǒng)所作的功與系統(tǒng)消耗的能量相等時(shí)，系統(tǒng)做穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。對(duì)于無(wú)阻尼系統(tǒng)，由于無(wú)阻尼，振動(dòng)時(shí)無(wú)能量消耗。當(dāng)激勵(lì)頻率 無(wú)能量輸入，外力對(duì)系統(tǒng)不做功。當(dāng) 時(shí)，外力對(duì)系統(tǒng)做功，使系統(tǒng)能量越來(lái)越大，以致振動(dòng)的振幅越來(lái)越大。

3.3.2 等效阻尼

振動(dòng)時(shí)振動(dòng)能量的耗散有各種的形式，并且與許多因素有關(guān)，處理起來(lái)比較復(fù)雜。在線性振動(dòng)理論中，通常把其形式的阻尼等效為黏性阻尼，以使阻尼力線性化，得到等效的線性系統(tǒng)。其方法是，假定系統(tǒng)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，令原系統(tǒng)耗散的能量與黏性阻尼耗散的能量等效通過(guò)，從而求出等效阻尼系數(shù)。

三個(gè)參數(shù)不同初相位、幅不同以外，其他大致一致，且周期相同。那么可以看出：阻尼振動(dòng)周期是由外力的周期決定的，但是系統(tǒng)的能量并不是無(wú)限放大的，最后還是做類(lèi)似于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的受迫振動(dòng)。

物理擺是生活中最常見(jiàn)的物理現(xiàn)象，不同的驅(qū)動(dòng)力下能出現(xiàn)不同的物理擺動(dòng)。第二章中我們介紹了簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其基本特征，第三章中我們?cè)黾恿艘粋€(gè)空氣阻力，以此制造了一個(gè)阻尼振動(dòng)，更詳細(xì)的分析了阻尼振動(dòng)的種種性質(zhì)。第四章中又引進(jìn)了外力，從受迫振動(dòng)微分方程出發(fā)，以及能量的角度，多方面闡述了簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)。從現(xiàn)象認(rèn)知本質(zhì)，再?gòu)谋举|(zhì)理解現(xiàn)象，這個(gè)是我們物理歷史中進(jìn)步的源泉。