回歸本心，幾何問題回歸幾何解法

陳龍賢

我們在做解析幾何題目時，容易不管三七二十一，一上手就設坐標，列方程，對圖形本身缺乏必要的分析，這樣會導致計算量可能超級大甚至難以做到底。其實，如果對圖形進行細致分析，往往有“幾何”味道更濃的一種解法，這樣既減小了運算量，也能加深對題本身的理解。我們應意識到“解析幾何”也是“幾何”，要關注圖形幾何形態，幾何性質，做到心中有圖，見數思圖，提高解析幾何的解題能力。

例題：已知圓O：x2+y2=r2（r>0）與直線x-y+2=0相切.

（1）過點1，的直線l截圓所得弦長為2，求直線l的方程；

（2）設圓O與x軸的負半軸的交點為A，過點A作兩條斜率分別為k1，k2的直線交圓O于B，C兩點，且k1k2=-2，證明：直線BC恒過一個定點，并求出該定點坐標.

【正解】（1）圓心O到直線的距離為d==2=r，∴圓O的方程為：x2+y2=4.

若直線l的斜率不存在，直線l為x=1，此時l截圓所得弦長為2，符合題意；

若直線l的斜率存在，設直線l為y-=k（x-1），即3kx-3y+-3k=0，

由題意知，圓心到直線的距離為d==1，解得：k=-，

此時直線l為x+y-2=0，則所求的直線l為x=1或x+y-2=0；

（2）由題意知，A（-2，0），設直線AB：y=k1（x+2），

與圓方程聯立得：y=k1（x+2）x2+y2=4，

消去y得：（1+k21）x2+4k21x+（4k21-4）=0，∴xA·xB=

∴xB=，yB=，即B，，

∵k1k2=-2，用代替k2得：C，

∴直線BC的方程為：y-=x-

即y-=x-（k21≠2），整理得y=x+=x+（k21≠2），則直線BC定點為-，0.

“老師，你出的題第一問還比較仁慈，第二問也太難算了吧，老師定的事，旁人不知道，鬼會知道。”

來來來，看看老師第二問的思路：

將坐標原點平移至點A，則圓的方程變為（x-2）2+y2=22，即：x2+y2-4x=0，設直線BC的方程為mx+ny=1，B（x1，y1），C（x2，y2），聯立圓O和直線BC的方程得：x2+y2-4x（mx+ny）=0化簡得：y2-4nxy+（1-4m）x2=0兩邊除以x2得：2-4n+1-4m=0 k1k2==1-4m=-2，解得m=，BC的方程為x+ny=1，恒過點，0，故在原坐標系中，直線BC恒過點-2，0=-，0。

“老師，你的解題思路是我人生走過最長的路。”

“回頭看看走過的路，但凡涉及斜率和與斜率積的題是不是都可以用這樣的方法來解呢？……