曲線公切線的一個充要條件與應用

婁樂樂

摘 要：在高中數學中，一般未說，如果直線l切曲線y=f（x）和y=g（x）分別于點P（x1，y1，Q（x2，y2），則l有兩種表示方法：y-f（x1）=f ′（x1）（x-x1）和y-g（x2）=g′（x2）（x-x2），即它們表示同一條直線，展開比較得到方程組f ′（x1）=g′（x2）f（x1）-x1 f ′（x1）=g（x2）-x2g′（x2）。這就是直線l為曲線y=f（x）和y=g（x）公切線的一個充要條件。用此充要條件來解決公切線問題，往往得心應手，簡單快捷。

關鍵詞：數學，充分條件，必要條件

一、公切線方程

例1 求拋物線y=x2+ax與拋物線y=x2+bx（b≠a）的公切線方程。

解析：設公切線l切拋物線y=x2+ax于P1（x1，y1），切拋物線y=x2+bx于P2（x2，y2），由公切線的充要條件得，2x1+a=2x2+bx21+ax1-x1（2x1+a）=x22+bx2-x2（2x2+b），即x1-x2=x1=±x2。

但當x1=x2時，b=a，與題設矛盾，∴x1=-x2。解得，x1=，進而2x1+a=。于是公切線l的方程為y- f（x1）=f ′（x1）（x-x1），即y=x-。

二、函數關系

例2 已知定義在正實數集上的函數f（x）=x2+2ax，g（x）=3a21nx+b，其中a>0.設兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同，試用a表示b。

解析：設y=f（x）與y=g（x）（x>0）在公共點（x0，y0）處的切線相同。

f ′（x）=x+2a，g′（x）=。由公切線的充要條件得，=x0+2a，-x20=-3a2+3a21nx0+b。

由x0+2a=得，x0=a或x0=-3a（舍去）。因此用a表示b是b=a2-3a21na。

三、字母范圍

例3 設函數f（x）=ex的反函數為g（x），點P（x1，y1），Q（x2，y2）分別為函數f（x）的圖象C1和g（x）的圖象C2上的兩個動點，過P、Q的直線為l，當l為曲線C1、C2的公切線時，求x1的取值范圍。

解析：f（x）=ex，f ′（x）=ex；g（x）=lnx，g′（x）=。切點是。

由公切線的充要條件得，ex1=ex1（1-x1）=lnx2-1，解得x2=e-x1，ex1=。

由ex1=>0？圯x1<-1或x1>1。

當x1>1時，ex1>e？圯>e？圯1

四、字母關系

例4 設t≠0，P（t，0）是曲線f（x）=x3+ax與曲線g（x）=bx2+c的一個公共點，在這個公共點處兩曲線有相同的切線，試求a，b，c之間的關系。

解析：設過點P（t，0）的公切線為l。f ′（x）=3x2+x，g′（x）=2bx。

由公切線的充要條件得，2t2=2bt-2t3=2c，解得，b=t，c=-t3。

又因為0=t3+at，將t=b，t3=-c代入得，ab-c=0。

由上可見，對于一些用傳統方法難以處理的整式曲線、指數曲線、對數曲線，以及它們的復合型曲線的公切線問題，充要條件f ′（x1）=g′（x2）f（x1）-x1f ′（x1）=g（x2）-x2g′（x2）是順利求解的有效途徑，務必掌握。

（作者單位：洛陽理工學院附屬中學）