一元二次方程的應用

教材：河北教育出版社《義務教育教科書數學九年級上冊24.4一元二次方程的應用（3）》

教學背景：學生在前面的兩節課上，已經體驗了建立一元二次方程數學模型解決面積和增長（降低）率的實際問題的學習和研究，本節課是第三課時，重點是對經濟利潤類問題的解決。由于學生缺乏生活經驗、不理解在具體情境中的數量關系，更重要的還在于用一元二次方程解決營銷類應用題中，涉及的量比較多，如標價，最低單價，購買費用，購買量，還分超量和不超量，相對較為復雜，關鍵由于銷售量是變化的，導致售價也在改變，這些原因導致本節課不容易學，這就要求老師要找好切入點，找到適于學生研究的好方法。

教學設計思路：首先讓學生置身于經濟類問題的情景中去經歷和感受題中給出的量如：標價，最低單價，購買費用，購買量，理解超量和不超量，在此基礎上尋找量與量的關系，其中哪些是變化的關系，哪些是不變的。確保每個學生都能認識面臨的問題即讀懂題。然后寫出等量關系的文字表達式，再想辦法用數學式表示出來，得到方程模型，進而解決實際問題。所以我設計本節課的意圖就是將復雜問題盡可能條理化和簡單化，逐步去分解使得難度降低。

教學目標：經歷和體會建立一元二次方程模型的過程，體驗各種方法如列式、表格、畫圖等方法尋找和發現數量關系，能正確找到等量關系并準確表達。體會方程是解決現實問題的一種重要數學模型，強調模型化思想的滲透。

教學重點：關注學生對問題的理解，正確找到等量關系并準確表達。即將實際問題提煉成數學問題的數學建模能力。難點：如何梳理復雜的數量及尋找它們之間的關系

教學方法：創設情境——引導探究——類比歸納——鼓勵創新；學法： 自主探索——合作交流——展示評價-----歸納提升

教學過程設計

一、問題激趣，引發思考

看一看：出示旅行社廣告。某旅行社的一則廣告如下：組團人數不超過30人，人均旅游費用為800元，如果人數超過30人，那么每增加1人，人均費用降低10元，但人均費用不得低于500元。算一算：咱班40人集體出游，需花多少錢？若咱們一班和二班（共80人）一同出游，需花多少錢？說一說：你的運算思路？生1：花費=旅游的人數×人均旅游費；生2：咱班40人參加，人均旅游費降了：10×（40-30）=100元，實際人均費用800-100=700元，所以需要花費：40×700=28000元。生3：一班和二班一同出游，多了50人，人均旅游費降低了50×10=500元，因此只需800-500=300元，但要求人均旅游費用不得低于500元。所以這種情況的人均費用就按500元。因此需要花費：80×500=40000元。

想一想：生活中諸如上面的情形還有很多，或許還有變量出現，那會是怎樣一種情形呢？讓我們一起探究。

二、創設情境，引發思考，嘗試建模

例1.某商場經銷的太陽能路燈，標價為4000元/個，優惠辦法是：一次性購買數量不超過80個，按標價收費；一次購買數量超過80個，每多買1個，所購路燈每個可降價8元，但單價最低不能低于3200元/個。若一顧客一次性購買這樣的路燈用去516000元，則該顧客實際購買了多少個路燈？1.問題探究：（先獨立思考完成再小組交流、合作）

活動一：（1）假如一次購買數量是80個，收費 元/個，此時顧客共消費 元，由此你可以判斷 ；（2）每多買1個，所購路燈每個可降價8元，這里第一個“每”和第二個“每”是針對哪個數據說的？（3）一顧客一次性購買這樣的路燈用去516000元，包含的等量關系是怎樣的？先用文字表示 再列方程

本題設置問題串，幫助學生分析問題，尋找數據關系，進而得到方程。

活動二：小組展示構建方程模型的基本方法。小組交流：先對（1）表達觀點：80×4000=320000<526000，∴確定購買量超出80個。等量關系：單個路燈的價格×購買量=516000

方法展示：

展示方法1：畫圖表示：通過用圖形直觀的表示，讓我們看到兩個不同的量----單個路燈的價格和購買量，都隨多買的的路燈個數x的變化情況。在80個基礎上每增加1個，每個的價格就在4000元基礎上減少8元，設在80個基礎上增加x個，則價格就減少8x元，實際變成（4000-8x）元，根據：單個路燈的價格×實際購買量=516000，可列出方程得：（80+x）×（4000-8x）=516000

展示方法2：多買1個，每個路燈價格是（4000-8）元；多買2個，每個路燈價格是（4000-2×8）元；多買3個，每個路燈價格是（4000-3×8）元。于是當多買x個，每個路燈價格是（4000-8x）元。等量關系：一顧客一次性購買這樣的路燈用去516000元；即：單個路燈的價格×購買量=516000。由題意列方程得：（4000-8x）×（80+x）=516000。這是一種從特殊到一般的歸納方法，最終由已知到未知，水到渠成。

展示方法3：設顧客一次性購買了x個路燈，先算多了（x-80）個，根據每多買1個，所購路燈每個降價8元此時多買（x-80）個，所購路燈每個降價8（x-80）元，實際所購路燈每個的價格是[4000-8（x-80）]元由題意列方程得：x [4000-8（x-80）] =516000這是一種用未知量的大膽表示。

2.概括深化經驗

活動3：辨析總結：哪種方法好呢？甲：我覺得方法1直觀，方法2最易接受，但2推導太慢，4還得畫表也慢，我覺得1好。乙： 方法4清楚明了，我覺得麻煩些，方法3快捷，我覺得3好。師：實際應用中還就是方法3用的多些。

教師提升：路燈的總數是多出路燈個數的一次函數；每個路燈的價格是多出的路燈個數的一次函數，這樣得到兩個一次相乘就是二次的。右邊購買路燈的花費是個常數516000，則建立了這樣一個一元二次方程；若右邊的花費是個變量記作y，則這個形式就是將來我們要學習的二次函數。

三、利用模型，解決問題

1.請求出以上方程的解；2.思考：解應用題方程應注意什么問題？（略）

四、類比遷移，練習鞏固

把開始問題改編如下：某旅行社的一則廣告如下：我社組團去嶂石巖風景區旅游，收費標準為：如果人數不超過30人，人均旅游費用為800元，如果人數超過30人，那么每增加1人，人均費用降低10元，但人均費用不得低于500元.甲公司現計劃用28000元組織員工去旅游，可以安排多少人？（獨立完成，一位同學講解做法，加深此類問題的理解，突出重點、突破難點）

五、總結反思，歸納提升

通過本節活動，你學到了哪些知識？獲得了哪些活動經驗與方法？你還有哪些問題與困惑？請與大家分享。這一環節，旨在引導和幫助學生梳理知識，總結歸納建模經驗和解決問題的方法，培養學生良好的思維習慣。完成應用題的規范做題步驟即：審題——找等量關系——設未知量——列方程——化一般式——解方程——驗根——答案。