重視數學思想方法架起“數”與“形”之間的立體橋梁

摘 要：文章以廈門市第六中學葉媛媛老師執教的《數學思想方法之數形結合》一課為切入點，指出初中數學教學要重視數學思想方法，獲得美的享受，并在“數”與“形”之間架起立體橋梁。同時也提出，教師在教學中要感悟、歸納、提煉數學思想方法，培養學生綜合運用數學思想方法解題的能力，重視數學思想方法的教學探索。只有這樣，初中數學教學才能完成傳授知識、培養學生的數學品質、提高學生的數學能力的重任。

關鍵詞：初中數學；數學思想；數形結合；教學案例；教學反思

近期，筆者觀摩了廈門市第六中學初中部葉媛媛老師執教的《數學思想方法之數形結合》課堂教學視頻，并認真研讀了執教者課例設計文本，其中“以數助形，以形解數”的數學思想方法給筆者留下了深刻的印象，受益匪淺，現結合具體課例內容進行品評，交流學習。

一、重視數學思想方法，獲得美學享受

中學數學思想方法是中學數學教學的重要內容之一，《數學課程標準》在課程總目標中明確指出：“通過義務教育階段的數學學習、學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所需的重要數學知識（數學活動經驗）以及基本的數學思想方法和必要時的應用技能?！?/p>

數學教學分低級和高級兩種，低級水平是介紹數學概念，陳述數學定理、公式，指出解題的程式和套路；高級水平是著眼于數學知識背后的數學思想方法，在解決數學問題的過程中進行深層次的數學思考，經過思維訓練，獲得數學美學享受。

二、架起“數”與“形”之間的立體橋梁

數形結合的思想方法就是把“數”與“形”結合起來對數學問題進行分析、研究，從而解決問題的方法。用代數的方法研究幾何圖形的問題，架起“數”與“形”之間的立體橋梁，加強知識之間相互聯系，是解決數學問題強有力的工具。

本節課的學習，主要是為了讓學生初步感受數形結合的思想。具體來說，要求他們能運用代數的知識、通過函數關系的討論去處理幾何圖形的問題，通過對圖形性質的研究去解決函數之間數量關系的問題；能將抽象的數學語言與直觀的圖形符號結合起來，把抽象思維與形象思維結合起來；會用代數的方法去研究幾何問題，會根據圖形的性質及幾何知識去處理代數問題。

在教學中，架起“數”與“形”之間的立體橋梁，突出數形結合思想方法，有利于學生從不同的側面加深對問題的認識和理解，也有利于培養學生將實際問題轉化為數學問題的能力。

（一）在嘗試中初步感受數形結合的思想方法

本環節以問題設計為載體，促進課堂學習共同體的構建。首先，教師讓學生進行小組討論，討論這個問題有幾種解決方法和完成這類題目最關鍵的是什么。學生的回答：一是利用待定系數法確定函數解析式，再將問題轉化為不等式來求解；二是利用函數圖像，直接讀圖確定。結論：直接讀圖的方法，關鍵找“交點”。接下來教師追問：如何判斷圖像的大?。拷Y論：在函數圖像中，位置越高的點對應的函數值越大。教師繼續追問：如果去掉題目中一個條件，而不影響做題，你會去掉什么條件？學生不假思索地回答：去掉A、B兩點的坐標……教師再問：是不是呢？有學生反應過來了，馬上回答：A點的坐標是不能去掉的，它代表了這兩個圖像的交點，如果A點的坐標去掉了，就沒有辦法找到它們的分界點了。以“問題串”的設計為載體，在嘗試中初步感受數形結合的思想方法，教師及時追問，把師生的交流研討引向深層，促使學習共同體發揮最大的效能，讓學生的學習能力和思維能力都獲得提高。

在初中階段的教學實踐活動中，對學生實施數學思想方法的教育，是培養學生數學能力和提高數學素質的有效途徑。利用數形結合思想進行講解，使學生對數形結合思想理念有初步的感知，本題的設計一方面是對一次函數與不等式知識點的復習，另一方面也為學生呈現了直觀的圖形，加強其讀圖能力，為學生由數到形的思維過渡做好了鋪墊。

（二）在運用中逐步深化認識數形結合思想方法

（三）在合作交流中深化理解數形結合思想方法

【鏡頭回放】問題2：如圖2，已知一次函數y=kx+b與反比例函數的圖像交于A、B兩點，且點A的橫坐標為2，點B的縱坐標為-4，當x滿足什么條件時，一次函數的值比反比例函數的值大？

變式：若點A的橫坐標與點B的縱坐標均為1，當x滿足什么條件時，一次函數的值比反比例函數的值大？請你畫出示意圖并找到答案。

本題進一步深入一次函數與反比例函數相結合的探討，題目并沒有直接給出A、B兩點的坐標。首先我們要利用反比例函數解析式決定A、B兩點的坐標，在此教師特別指出易錯點——y軸，因為反比例函數中x≠0，因此自變量的取值范圍會直接影響函數圖像，所以把圖像劃分成四個區域，從左到右看，每一個區域進行比較，求出一次函數的值比反比例函數大的值。利用數形結合思想解決問題時，除了關注交點這一解題關鍵，還需要特別注意自變量的取值范圍。在解決變式問題方面，面對學生推理中出現的各種錯誤，教師并不急于給出答案，課堂上讓學生利用8分鐘的時間進行小組合作交流，探討怎樣畫出示意圖，如何確定A、B點的坐標，耐心地引導學生分析，找準此題的條件和結論，讓學生最終能夠清晰地感悟到幾何知識的推理方法。教師選取幾種典型錯誤予以展示：（1） 只畫了第一象限，而忘記了第三象限；（2） 把示意圖在原圖上畫，使圖像更復雜；（3） A點或B點的坐標找錯了。這一環節，教師為學生提供了充足的合作交流思考時間與空間，完全放手由學生進行探究，學生在認知沖突中思考、辨別、提高，動手操作，大膽猜想。教師放手讓學生總結，生生補充，教師完善。

由師生“一問一答”轉變為師生間“爭辯式”的深層對話，在生生間、小組間、師生間的交流、探討、爭辯中，學生相互影響、感染，分享、體驗，形成班級內的良好和諧的學習共同體，教師及時引導學生對方法進行總結提升，使學生能夠感悟解決問題的方法，使每位同學都能夠學有所得，學有所獲。平等、互助、對話式的學習關系，充分發揮了集體智慧。從直接讀圖到畫出示意圖，是學生對數學解題能力的挑戰與提升，應用數形結合思想能夠使學生的解題變得豁然開朗，但畫圖精準與否，直接影響答案是否正確，因此，必須加強學生對畫圖精準性的訓練，以此來提高解題效率。讓學生親自經歷觀察、作圖、猜想、歸納的過程，引導學生將函數中數的刻畫和形的表達兩者緊密聯系起來，以數助形，以形解數，實現數形結合，充分感受數學問題研究中數與形兩種方法之間相輔相成。

（四）在解決問題過程中主動運用數形結合思想方法

【鏡頭回放】問題3：如圖3，已知拋物線y1=-x2+4x和直線y2=2x，我們約定，當x取一個值時，x對應的函數值分別為y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的較小值為M；若y1=y2，則記M=y1=y2。

（1）當x>2時，M=y2。

（2）當x<0時，M隨x的增大而增大。

（3）使得M大于4的x的值不存在。

（4）若M=2，則x=1。

上述說法正確的是____________。

本環節題目的設計，有梯度、有難度，并提升到一次函數與二次函數相結合的探討。題目中的M代表的是什么？題目的關鍵是理解“我們約定”——“若y1≠y2，取y1、y2中的較小值為M；若y1=y2，則記M=y1=y2”這句話的含義，其實M就是找y1、y2的最小值。通過圖像我們可以發現：當x>2時，M=y1，若M=2時，則x會有兩個點的答案，因此（1）、（4）的說法有誤。九年級的學生，已經具備了相當的知識水平，對數學思想方法有了一定的理解，并在解決問題過程中形成了一定的運用思想方法的意識，因此在教學中教師要重點引導學生從變化多端的問題情境中抓住問題的實質，尋求不同問題解決中的共同內涵，讓學生主動領悟隱含于數學問題背后的思想方法，并主動運用該思想方法解決共性問題。

此環節中，學生在教師的引導下，學會將文字語言轉化為數學語言思辨，設計開放性的問題，搭建學生溝通的橋梁，讓師生有共同研究的話題，共同努力的方向，形成生機勃勃的課堂氛圍。在思維發展的關鍵點上，恰當地采取合作學習。學生在小組活動中，在交流匯報中傾聽、思考、合作、質疑、感悟知識，收獲方法。

三、對數形結合教學實踐的幾點思考

（一）感悟、歸納、提煉數學思想方法

初中數學思想方法以凹顯的方式融于知識體系。我們在教學過程中，應把挖掘出來的數學思想方法進行歸納總結，這種教學活動要納入教學計劃，有目的、有步驟地進行，同時也要讓學生經歷感悟、歸納、提煉數學思想方法的過程。在例題分析后或課堂小結時，可將統領本節課知識的數學思想方法概括出來，增強學生對數學思想方法的應用意識，讓學生更好地理解、掌握所學的內容。

（二）培養學生綜合運用數學思想方法解題的能力

在教學實踐活動中，教師為學生提供豐富、生動、典型、直觀的素材，創設問題情景，使學生積極投入到接受問題、分析問題和感悟思想方法的角色中，形成獨立探索和分析、解決問題的能力。對某些數學問題，應盡可能地引導學生從多種渠道、多種途徑中尋求答案，獲得最佳方法；可通過由簡單到復雜，由特殊到一般的思維方式，引導學生大膽聯想和猜想，獲得新的發現；對于某些條件、因素較多的數學問題，應引導學生系統、全面地分析，獲得正確的結論。這樣可以提高課堂效率，引導學生解題后必反思，優化解題過程，總結解題經驗，提煉數學思想方法，培養學生綜合運用數學思想方法解決實際問題的能力。

（三）重視數學思想方法的教學探索

重視數學思想方法的教學已成為我國數學教育的一大特色，數學思想是凹現的，數學方法是凸現的。因此，在教學中怎樣挖掘教科書中隱含的數學思想方法，怎樣有效地進行數學思想方法的教學，如何培養和發展學生的數學思想方法，是擺在數學教師和數學教育工作者面前的一個新課題。在義務教育教學實踐中，我們不僅要重視教材中數學知識的傳授、數學品質的培養、數學能力的提高，還要重視數學思想方法的教學探索。

參考文獻：

[1]葉媛媛.數學思想方法之數形結合[J].中學數學教學參考，2017（08）.

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[3]馬復，凌曉牧.新版課程標準解析與教學指導（初中數學）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.