淺談復合函數的地位和認識

摘 要：高中數學中的函數部分無疑是代數中的重中之重，其中對函數的結構認識應放在第一位。僅靠七個基本初等函數來認識和研究函數是遠遠不夠的，因為更多的函數結構和復合函數息息相關，因此復合函數在高中數學中占有非常重要的地位。但是復合函數本身又有很多限制，幾十年來高考復習中也出現了很多錯誤的認識，加強對復合函數的正確認識和研究顯得尤為重要，文章即針對復合函數的地位和認識問題進行了相關探討。

關鍵詞：中學數學；復合函數；高考試題

一、尋源

恢復高考后且在2000年前，高考數學理科試題出現了以下與復合函數有關的試題。

1985年全國高考數學試題（理科）第3題是：

在下面給出的函數中哪一個函數既是區間0，上的增函數又是以π為周期的偶函數？（ ）

A. y=x2（x∈R） B. y=sin x（x∈R）

C. y=cos2x（x∈R）D. y=esin2x（x∈R）

1987年全國高考數學試題（理科）第5題是：

在區間-∞，0上為增函數的是（ ）

A. y=-log（-x） B. y=

C. y=-（x+1）2 D. y=1+x2

1989年全國高考數學試題（理科）第11題是：

已知f（x）=8+2x-x2，如果g（x）=f（2-x2），那么g（x）（ ）

A. 在區間（-1，0）上是減函數

B. 在區間（0，1）上是減函數

C. 在區間（-2，0）上是增函數

D. 在區間（0，2）上是增函數

1995年全國高考數學試題（理科）第11題是：

已知y=logɑ（2-ɑx）在[0，1]上是x的減函數，則ɑ的取值范圍是（ ）

A. （0，1） B. （1，2） C. （0，2） D. [2，+∞）

1998年全國高考數學試題（文史類）第2題是：

函數y=a|x|（a>1）的圖像是（ ）

五次出現復合函數試題，其考察的形式多樣，1985、1987、1989年試題研究的是單調性問題；1995年試題雖然也是研究單調性問題，但和前面三次不同，在單調性下求范圍問題應屬綜合應用；1998年是有關復合函數的圖像問題。

二、提出問題

在高一學習函數時，以及高三第一輪復習函數的性質時，都會遇到以下問題組。

問題一：

（1）已知函數f（x）的定義域為（-1，1），求函數f（x-1）+f（1-2x）的定義域。

（2）已知函數f（x-1）的定義域為（-1，2），求函數f（x）的定義域。

（3）已知函數f（x+1）的定義域為（-2，0），求函數f（1-3x）的定義域。

顯然以上三個問題中的函數，既不是具體背景的函數，也不是給出解析式的函數，解決這三個問題的定義域問題的知識基礎是什么？從函數結構上來看，它們都是復合函數，對于復合函數而言，有以下認識：已知函數f（g（x））的定義域，求f（x）的定義域等價于求g（x）的值域，基本上全國99%的老師們都是這樣理解且講給學生聽的，可是這樣的認識存在嚴重的邏輯問題。設f（x）的定義域為D，g（x）的值域為E，只要ED即可。也就是說，g（x）的值域只是映射f作用于原象取值（定義域）的子集就可以了，從邏輯上看，根本無法確定f（x）的定義域。

三、解決問題

既然有以上那么多的復合函數的認識問題，那什么時候適合引入復合函數，關注復合函數哪些方面的應用呢？

（一）復合函數的引入思考一

現在的問題是，要不要引入復合函數呢？答案是肯定的，因為在人教A版選修2-2中，讓學生思考如何求函數y=ln（x+2）的導數。我們無法用現成的方法求函數y=ln（x+2）的導數，于是，我們先分析這個函數的結構特點：

若設u=x+2（x>-2），則y=lnu，從而y=ln（x+2）可以看成是由y=lnu和u=x+2（x>-2）經過“復合”得到的。即y可以通過中間變量u表示為自變量x的函數。如果把y與u的關系記作y=lnu，u和x的關系記作u=g（x），那么這個“復合”過程可表示為：y=f（u）=f（g（x））=ln（x+2）。我們遇到的許多函數都可以看成是由兩個函數經過“復合”得到的。例如，函數y=（2x+3）2由y=u2和u=2x+3“復合”而成，等等。

（二）復合函數的引入思考二

復合函數的單調性問題。

復合函數的單調性法則是：同增異減。因為學完導數后對這樣的問題進行求導面臨著簡單問題復雜化的問題，而復合函數的研究就是一種很好的途徑，并且其理論使用是沒有問題的。

基于以上認識，在引入復合函數時要慎重，對復合函數的問題最好做到：能回避的盡量回避，需要研究的還需認真研究。這樣道理會講得清楚些。

（三）復合函數的應用

通過以上題組的分析，復合函數適用于研究其結構形式下的復雜多變的函數，對解決復合函數的結構方面的問題十分有用，具體應用突出在單調性、值域這些方面。

此題的求解可以從復合函數的生成、復合函數的背景、復合函數的求導三個維度去思考，能夠產生三種求解方法，這無疑反映了復合函數的強大背景及功能。

四、反思問題

（一）教材的引入

基本初等函數只有七類，要對函數有深入的認識就必須引入復合函數，建議在函數的單調性一節拋出復合函數的概念及有關單調性的結論，使得學生清楚地認識到復合不僅可以生成無數多個函數，還可以有函數性質方面的研究，在接觸相關問題時就有章可循了。

（二）數學的嚴謹性

一直以來，數學的嚴謹性是數學思維的重要方面之一，教師更要對數學概念有一個全方位的認識，不盲從一些教材或資料，要從數學的本質上去認識和思考問題，特別是現在提到的六大數學核心素養，其中的“數學推理”無疑是最能體現嚴謹性的了。

（三）教學的處理

因學生思維發展的延續性等方面的問題，高中有很多數學概念是模糊的，教師在處理這些方面的問題時，一方面要明確什么時間引入合適，有時不一定要按教材的順序，只要學生認知方面沒問題就可以考慮引入；另一方面要處理好認識和應用的關系，認識不一定是深層次的，比如導數的引入，高中階段沒有涉及極限就引入導數了，因為教材在這方面的處理是：關于導數應用方面的內容，大學可以完成理論的構建和進一步認識。因此，教師不應鉆牛角尖，不應把不必要的問題（極限方面）夸大化。教學是一門藝術，需要教師精心研究教材與教法，才能從一定高度上去做好教學的合適處理。

（四）函數的定義域

定義域是函數概念的有機組成部分，既要引導學生通過運算求解，又要讓學生知道它們的意義。其實在研討事物之本質中用到的集合，往往是由符合某種給定性質的元素所組成的。任何一種嚴謹的討論，都不是漫無邊際的。改用集合的觀點來看，即一個嚴謹的討論中，所涉及的元素其實是具有明確范疇的。這也是強調函數定義域的意義之一。對于函數的定義域的意義，教學中要通過合適的例子向學生解釋清楚，絕不能產生錯誤的解讀和造成錯誤的認識。

復合函數的地位是重要的，通過以上問題的分析，對于復合函數，引入要適宜，使用要慎重，只有這樣才能傳遞給學生科學的認識。