源于教材剖析 成于探究組織

新人教版初中數學八年級上冊第十三章“軸對稱”章末的課題學習——最短路徑問題，是教學難點.為突破這一難點，筆者的工作室實施了如下課例研修程序：首先由工作室成員焦陽老師模擬課堂教學，其他成員聽課、評課后，焦老師修改，然后進行課堂教學實踐，最后，筆者針對兩次教學設計的改進效果及課堂教學組織進行評議，以期對“課題學習”有進一步的理解和認識.現以本節課的教學為例，將收獲與大家分享.

一.教學目標

1.從數學角度對日常生活中出現的“最短路徑問題”進行探究，綜合運用軸對稱、三角形等知識解決問題，提高合作探究的能力，并感受數學來源于生活，應用于生活.

2.經歷審題、分析數量關系、選擇數學模型，了解解決問題的方法，學會從數學的角度發現問題、思考問題、解決問題，積累解決問題的經驗.

3.在學習過程中體會分類思想與化歸思想.

二.教學過程

1.情境導入

（1）兩定點之間的最短路徑——點到點的距離

教師：同學們好，請大家看圖片，小區的草坪需要修一條小路，綠化部門改變傳統方式，修建好草坪后先讓人們去走去踩，草坪被踩得最多的地方，當然也就是人們最需要的路徑.請問，這樣做的理論依據是什么？

3名學生分別發言后，教師歸納并板書解決問題的依據：“兩點的所有連線中，線段最短.”

設計意圖：設置簡潔新穎的實際問題情境，引出本節課的背景，讓學生體會到生活離不開數學，并回顧知識“兩點之間，線段最短.”

（2）一定、一動兩點之間的最短路徑（其中動點在一定直線上）——點到直線的距離

教師：江上女兒全勝花，今日相約來浣紗.門前歧路不勝數，但需日落早歸家.這也是一個最短路徑問題，請大家找出最短的“浣紗之路”，說說你的理由.

學生（眾）：垂線段最短！

教師給出示意圖，歸納板書“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”.

設計意圖：一首淺顯易懂的七律，在營造優美意境的同時，激發了學生的好奇心和求知欲.通過直觀展示示意圖，教師將實際問題抽象為數學問題.教學中，教師將“點到直線的距離”歸結為兩點之間的最短路徑問題.“點到點的距離”主要是求解兩定點間的距離而這里變為一定、一動兩點（其中動點在一定直線上），這樣的設計加強了知識間的聯系，有利于學生構建知識體系，同時復習了“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”，為下一步探究活動的開展搭建了第一層“腳手架”.

2.探究學習活動

三點間的最短路徑（三點中有兩個定點一個動點，其中動點在一定直線上）——軸對稱的性質

探究1：兩定點在定直線的異側

教師（展示“任務單”）：李白提壺去買酒，對面杜甫在招手.省時省力路上見，請問約在哪一點？請大家看“任務單”.

教師：題目中包含幾個元素？

學生：李白和杜甫是兩個點，路是一條直線.

教師：他們相遇處可以抽象成一個待定的點.

（學生點頭）

教師：好，現在我們可以將探究1中的實際問題抽象成這樣一個數學問題：

如圖，在直線l上找一點P，使得AP+BP最小.請大家獨立思考兩分鐘.

教師（2分鐘后）：4人小組討論1分鐘.

學生討論時，教師在教室中巡視，并適時參與小組交流.

設計意圖：與前一板塊呼應，“探究1”也是以一首淺顯易懂的七律導入問題情境.教師從元素分析入手，將實際問題抽象成數學問題，這是建立數學模型的第一步.為了有效引導合作探究，教師設計了“任務單”，并始終展示在黑板上，直至“探究2”結束.“探究1”的設計為突破本節課的難點——“兩定點在一直線同側”搭建了第二層“腳手架”.

探究2：兩定點在定直線的同側

教師：如果李白、杜甫在路的同側，要在街道上相見，請問在哪一點見面，兩人所走的路程之和最短？探究1與探究2有何異同？

探究2的學習活動分4步展開：

（1）給出探究2的題目，即“將軍飲馬”模型題，引導學生借助探究1的結論來解決.

（2）學生獨立思考5分鐘后，小組討論3分鐘，并比對測量結果，最后，每組選出最佳答案進行展示.要求小組推選代表展示作法，并說明原因和依據.

（3）教師引導：根據學生的回答，教師進行歸納.

①如何將點A“移”到l的另一側A′處，滿足直線l上的任意一點P，都保持PA與PA′的長度相等？

②利用軸對稱的有關知識，找到上問中符合條件的點A′.

（4）回顧前面的探究過程，并加以總結.

可以作點B關于直線l的對稱點嗎？試一試.

作法：（1）作點A關于直線l的對稱點A′；

（2）連接BA′，與直線l相交于點P，則點P即為所求.

設計意圖：怎樣找出點P是本節課的難點，學生以小組為單位進行展示，然后比較各小組的答案，找出最佳答案，或在教師的引導下探尋“最短路徑”，從而突破難點.學生經歷了發現問題、探究問題的過程，運用轉化與化歸的數學思想，在合作學習中根據軸對稱的性質獲得最佳答案，最后，在教師的引導下及時總結出確定點P的方法：將“兩點在直線同側”轉化為“兩點在直線異側”，關鍵要作出對稱點，然后教師趁勢提煉出“將軍飲馬”這一題型.

3.規律總結

怎樣找到最短路徑：（1）兩點之間；（2）直線外一點到直線；（3）兩定點與一條定直線，待定點在定直線上.

①兩點在直線的異側

②兩點在直線的同側

數學思想：轉化與化歸思想，分類思想.

設計意圖：教師及時總結，其目的有三個，一是引導學生總結最短路徑問題的模型，提升解題能力；其二為解決“造橋選址問題”再次做鋪墊；其三體會“分類思想”.

4.拓展變遷——四點間的最短路徑

教師：一天A地的兩兄弟決定去河對岸的B地，河上有四座長度相等的橋，哥哥要走ACDB，弟弟要走APQB，你能幫兄弟倆選擇一條從A地去B地的最短路徑嗎？

學生：從A地去B地的最短路徑是A-E-F-B.

教師：你的答案是正確的，可以通過測量進行驗證，證明的方法我們下節課再交流，大家可以在課外繼續討論.

設計意圖：探究學習活動的基本流程主要有“教師創設情境——學生觀察與猜想——驗證或證明猜想——應用猜想的結論”.本題是對教材中“問題2（造橋選址問題）”的改編，改編后，情境更生動，內容更豐富，趣味性更強，屬于“應用猜想的結論”，該設計使得本次探究學習活動相對完整，同時豐富了最短路徑問題，并且將探究延伸到課外，提高了探究的效能.

5.小結，談一談你的收獲

學生個別發言，反思本課的學習過程，然后教師總結：解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等把復雜的問題轉化為容易解決的問題，從而合理地選擇最短路徑.

設計意圖：引導學生回顧本節課的學習歷程，梳理本節課所學的知識，讓學生體會“圖形變換”在解決問題中的價值，幫助他們掌握解決最短路徑問題的方法.

6.布置作業：八年級上冊數學課本第93頁第15題.

三.課例研討

1.“課題學習”的有效保障，源于正確認識其意義

課題學習是新課程增加的內容，對待課題學習，教師有兩個常見的誤區.其一是輕視，課題學習的內容不涉及新知，很多教師誤以為它可有可無，或者把課題學習作為一個習題，甚至直接略過，根本不講.其二是畏難，因為在課題學習部分，教材呈現的是實際問題的解決方法，涉及的知識與方法綜合性強，加之是新增內容，可借鑒的材料少，很多教師覺得設計與組織教學有困難，不愿嘗試.所以，要確?！罢n題學習”教學的有效性，就要清除誤區，而清除誤區的方法，就是要正確認識課題學習的意義.

課題學習的意義何在？其一，課題學習是對某個數學問題的深入探討，或者從數學的角度，對日常生活和其他學科中出現的問題進行研究，因此，需要學生綜合運用已有的知識解決問題，綜合性和應用性更強.其次，學生通過解決問題，能培養合作探究的能力，并真正感受到數學來源于生活，應用于生活，因此，課題學習有很高的教育教學價值.

本課中的“最短路徑”是學生非常感興趣的實際問題，之前學生已初步掌握應用題的解題方法和步驟.而本課以“最短路徑的選擇”為載體進行課題學習，教學目標不是讓學生學會證明，而是讓學生經歷解決問題的步驟，通過體驗按步驟審題、分析數量關系、選擇數學模型，學會從數學的角度發現問題、思考問題、解決問題，并積累解決問題的經驗.本課中，要想較好地實現這些目標，教師必須正確認識“最短路徑”的教學意義.

2.“課題學習”的有效設計，源于深刻剖析教材

由于課題學習在教材中往往以一個問題的形式呈現，篇幅較短，如果教師把“課題學習”當作習題課，就題論題，那么學生思維的提升、數學能力的培養就無從談起.因此，如何以課本為起點，站在系統的高度，深入挖掘教材中的問題所蘊含的價值，并對教學內容進行重新設計是有效組織課題學習的關鍵.

在設計本堂課前，教師反復研讀教材，發現教材安排了兩個不同層次的問題，問題1是著名的“將軍飲馬”問題，本質上是三點兩折線段的最短路徑，三點中有兩個定點（將軍所在位置與營盤位置），一個動點（飲馬點），且動點在一條定直線（飲馬的河流）上.問題2是“造橋選址”問題，本質上是四點三折線段的最短路徑，四點中有兩個定點（A，B兩地的位置）、兩個動點（橋的兩端點M，N），且動點分別在兩定直線（河流的兩岸）上.兩個問題同類但不在同一層次，“問題2”比“問題1”涉及的元素多，更重要的是為了解決“問題2”，將四點間的最短路徑化歸為三點間的最短路徑后，題目變為“兩定點在定直線的異側”，而“問題1”是“兩定點在定直線的同側”，顯然教師需要在兩個問題之間補充內容，做好銜接教學，保證教學質量.而且“問題1”的證明難度較大，九年級的學生都難以接受，如果直接讓八年級的學生學習，學生往往會覺得無從下手，即使舍去證明，采用化歸說理，對學生來說，還是有一定的難度.因此，教師若不顧學情教情，只是生硬地灌輸解題方法，學生很可能“聽得懂”，但是自己仍然“不會做”，這就需要教師搭建“腳手架”，幫助學生找到解決問題的落腳點.

這個“腳手架”怎么搭呢？

仔細閱讀教材，就會發現“13.4課題學習 最短路徑問題”的第一自然段中，提及前面研究過的兩個最短路徑問題：“兩點的所有連線中，線段最短”和“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”.至此，“腳手架”的第一層——“兩點間的最短路徑”產生了.只不過這兩個極值問題又可分為兩級，前者是“兩定點之間的最短路徑——點到點的距離”，后者是“一定、一動兩點之間的最短路徑（其中，動點在一定直線上）——點到直線的距離”.

“腳手架”的第二層——“補全三點間的最短路徑”，則分為兩定點在定直線的異側與同側兩部分.因為兩定點在定直線的異側比較簡單，且能與“腳手架”的第一層中兩定點之間的最短路徑銜接，所以，首先用探究1的方式進行補充，然后再用探究2的方式完成教材中“問題1”——兩定點在定直線同側的內容.

本課教學時，教師設計了層層遞進、環環相扣的五個問題情境，從學生已有的經驗出發，引出解決距離問題的核心知識，為解決問題提供了知識層面的鋪墊.教師以兩點間的距離和點到直線的距離導入新課，讓學生初步了解距離.探究分為兩部分，即兩點在直線異側和同側，讓學生在解決問題的過程中不斷積累經驗，同時，滲透分類討論等數學思想方法.“拓展變遷”則是知識的應用.整節課設計合理、思路清晰、環節緊湊、重點突出，學生的思維在一次次探究學習中升華，較好地落實了三維教學目標.搭建“腳手架”是引導學生完成課題學習的有效方式，深度挖掘教材內容是組織課題學習的關鍵.

3.“課題學習”的有效教學，成于合理組織探究活動

“課題學習”的探究活動一般以小組合作學習的形式進行.但如何有效地組織小組合作學習呢？新課程改革15年來，五華區中學數學教師在這方面積累了較為豐富的經驗，如：

（1）獨立思考是前提.獨立思考是有效交流的保障，沒有獨立思考的交流都是“漂湯油”.

（2）“任務單”是助手.“任務單”是“小組合作學習”的有效工具.“任務單”的具體要求有五點：第一，簡潔明了，“任務單”的字符數不超過50字為宜；第二，標明時間；第三，程序清楚，先做什么后做什么，學生要清楚；第四，始終展示，從布置任務，安排學生獨立思考，組織小組討論，組間交流，到最終點評總結，“任務單”要始終保持展示狀態；第五，責任明確，確保人人有事做，事事有人做.充分利用“任務單”是有效地組織教學的一大助力.

（3）精打細算是保障.這里的“精打細算”可以從兩個層面理解，其一，教師在教學設計時要多思，每節課“小組合作學習”的組織次數以兩次為宜，教師要盤算一下“投入產出比”，要思考為什么要在此處組織“小組合作學習”，即在此處安排“小組合作學習”的價值如何？是否有足夠的討論空間？會有怎樣的預設與生成？其生成對問題的進一步探究有怎樣的作用？如何把控節奏，才能與整節課的鋪陳展開和諧一致？第二，教師在教學設計時要調研，調研的重點是：“小組合作學習”中，獨立思考與小組討論各需多少時間？教師可以抽取部分學生，觀察和記錄不同層次的學生獨立思考的進度，據此估算小組討論所需的時間，同時完善“任務單”，控制好教學節奏.只有合理地組織教學，才能有效地提升“課題學習”的效果.

在本課的教學實施環節，執教者簡化背景、簡化信息，從復雜的題目中抽象出數學問題，并通過圖形等直觀的工具展現在學生面前，從而使學生有信心、有能力運用“腳手架”解決問題，同時，也有助于引發學生深度思考，為解決其他問題做好了鋪墊.

（備注：云南省教育科學規劃（高等學校教師教育聯盟）教師教育專項課題2016年度云南省中小學數學名師工作室項目實施的有效性研究，立項編號：GJZ1603.）

◇責任編輯 張 瑩◇