探究一道高考數(shù)學(xué)題的幾種解法

首先，我們看一下2016年高考數(shù)學(xué)全國甲卷文科第20題：

已知函數(shù)f （x）=（x+1）lnx-a（x-1）.

（1）當(dāng)a=4時，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；

（2）若當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）>0，求a的取值范圍.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程和利用導(dǎo)數(shù)研究不等式.第一問比較簡單，先求出導(dǎo)函數(shù)，由切點處的導(dǎo)數(shù)值得出切線的斜率，再利用直線方程的點斜式即可得到結(jié)果.而第二問解法眾多，每種解法背后都蘊含著數(shù)學(xué)思想方法.下面我們重點分析第二問的解法.

（2）解法一：由f（x）=（x+1）lnx-a（x-1），注意到

f（1）=（1+1）ln1-a（1-1）=0，即可將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈（1，+∞）時， f（x）>f（1）成立. f ′（x）=lnx+1+-a，令g（x）=lnx+1+，得g′（x）=>0，可知：

當(dāng)x∈（1，+∞）時， g（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，g（x）=g（1）=2.

因此，當(dāng)a≤2時，f ′（x）=g（x）-a>0.當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，滿足f（x）>f（1）=0，即當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）>f（1）成立，命題得證.

當(dāng)a≥2時，設(shè)x∈（1，+∞），且滿足g（x）=a，即：

當(dāng)x∈（1，x）時，g（x）a，f ′（x）>0， f（x）單調(diào)遞增.

即f （x）=f （x）

綜上所述，a的取值范圍是（-∞，2].

這種方法的關(guān)鍵點是f（1）=（1+1）ln1-a（1-1）=0，學(xué)生若能抓住這個關(guān)鍵點，將問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）>f（1）成立，再結(jié)合分類討論思想，即可得出答案.這種方法重點考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，分類討論思想及分析問題、解決問題的能力.

解法二：當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）>0成立，即只需要證明：？搖當(dāng)x∈（1，+∞）時，a（x-1）<（x+1）lnx成立.設(shè)g（x）=a（x-1），h（x）=（x+1）lnx，容易得到，g（1）=h（1）=0，即兩個函數(shù)的圖象相交于點（1，0）.先畫出h（x）=（x+1）lnx的圖象.

注意到，g（x）的圖象是一條直線，而a恰好為直線的斜率.若a=0，圖象如上圖所示，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x∈（1，+∞）時，a（x-1）<（x+1）lnx，而若直線的斜率a<0，當(dāng)x∈（1，+∞）時，g（x）

否則，？堝x∈（1，+∞），使得g（x）0.

綜上所述，a的取值范圍是（-∞，2].

這種方法將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象高低的問題，即將抽象的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為簡單易理解的圖形問題，巧妙地避開了學(xué)生頭疼的分類討論，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想，以及分析問題、解決問題的能力.只是這種方法不易想到，此外，它要求學(xué)生具備一定的作圖能力.

解法三：當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）>0成立，可轉(zhuǎn)化為：a<.

令g（x）=，問題可轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈（1，+∞）時，a

g′（x）==，令s（x）=

-2xlnx+x-1，則s′（x）=-2lnx-2+2x，再令h（x）=s′（x）=-2lnx-2+2x，h′（x）=>0，所以，h（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，h（x）>h（1）=0，即？搖s′（x）>s′（1）=h（1）=0，即s（x）也是單調(diào)遞增函數(shù).所以，s（x）>s（1）=0.

即g′（x）>g′（1）=0，即g（x）也是單調(diào)遞增函數(shù).

g（x）=，由洛必達法則得：

g（x）==

==2.

因為x∈（1，+∞），故g（x）=2不能取到.

綜上所述，a的取值范圍是（-∞，2].

這種解法應(yīng)該是學(xué)生最容易想到的，先將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，分離參數(shù)a，即可求出a的取值范圍.此法的優(yōu)點是思路簡單，避免了復(fù)雜的分類討論，但是后面求導(dǎo)構(gòu)造函數(shù)的過程較復(fù)雜，而且需要用到大學(xué)所學(xué)的洛必達法則，因此，這種解法還考查了中學(xué)數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系，即站在更高的層次看待中學(xué)數(shù)學(xué)問題，從而有效地簡化了問題.此題考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，分離參數(shù)解決不等式恒成立問題的方法，以及分析、解決問題的能力.

無獨有偶，我們再看看2006年高考理科數(shù)學(xué)全國2卷的第20題：

設(shè)函數(shù)f（x）=（x+1）ln（x+1），若對所有的x≥0，都有f（x）≥ax，求實數(shù)a的取值范圍.

讀者可以發(fā)現(xiàn)，這個題和2016年高考數(shù)學(xué)全國甲卷文科第20題的第二問十分相似，相信各位讀者也可以用剛才的三種方法來求解.筆者便不再做出解答了.

接下來，我們再看看2017年高考數(shù)學(xué)全國丙卷文科第12題（同理科第11題）：

已知函數(shù)f？搖（x）=x-2x+a（e+e）有唯一零點，則a=（ ？搖）.

A.- B. C. D.1

【解析】解法一：由條件f（x）=x-2x+a（e+e），得f（2-x）=（2-x）-2（2-x）+a（e+e）=x-4x+4-4+2x+a（e+e）=x-2x+a（e+e）.

∴f？搖（2-x）=f？搖（x），即x=1為f？搖（x）的對稱軸.

根據(jù)題意，f？搖（x）有唯一零點，所以，f？搖（x）的零點只能為x=1.即f（1）=1-2·1+a（e+e）=0，解得a=.

解法二：我們從數(shù)形結(jié)合的角度出發(fā)，令f（x）=0，移項，可得-x+2x=a（e+e），然后，令g（x）=e+e，h（x）=-x+2x.接下來，我們分別畫出g（x）=e+e，h（x）=-x+2x的圖象.

結(jié)合兩個函數(shù)的圖象，我們?nèi)菀椎玫剑瑑蓚€函數(shù)都在x=1處取得最值.因此，要使得ag（x）=h（x）有唯一零點，只需要保證ag（x）的最小值等于h（x）的最大值即可，即a=.這樣，便可輕松地得到結(jié)果.這種方法對于選擇題而言應(yīng)該說非常簡便快捷！

通過這三個題，我們發(fā)現(xiàn)，一個高考題，命題者不會單一地考查某種方法，尤其是壓軸題，答案肯定是豐富多彩的，會著重考查學(xué)生不同的數(shù)學(xué)思想方法.對這類問題，筆者給出一些教學(xué)建議，如有不妥之處，敬請指正！

1.注重通性通法.每一類數(shù)學(xué)題，都有通性通法，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生熟練運用通性通法解題.

2.注重數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.在解題時，要引導(dǎo)學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)思想方法，力求事半功倍！如，轉(zhuǎn)化與化歸思想，分類討論思想，函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想等.

3.多角度分析問題.一個高考題，突破的角度往往不是單一的.如果平時能訓(xùn)練學(xué)生從多個角度分析問題，久而久之，學(xué)生遇到一個數(shù)學(xué)難題，便會從不同角度去分析，進而解決這個問題.

◇責(zé)任編輯 張 瑩◇