一道三角題引發的研究性學習

李雪梅+任禮銘+趙思林

[摘 要] 四川省瀘州市高2017級第二次高考模擬考試（數學）第18題是一道三角題，該題能夠激活學生數學思維，具有數學探究價值. 這個問題的研究性學習，可以從試題的簡評、立意分析、思路與解法探究、問題的推廣、教學啟示等角度進行.

[關鍵詞] 三角；研究性學習；推廣

四川省瀘州市高2017級第二次高考模擬考試（數學）第18題（以下簡稱瀘州二模題）是一道三角題，該題能夠激活數學發散思維和創新思維，具有一定探究價值，是一道具有研究性學習的好問題. 本文擬從試題的簡評、立意分析、思路與解法探究、問題的推廣、解題后的回顧與教學啟示等方面作一番研究.

[?] 試題呈現與簡評

瀘州二模題：如圖1，在△ABC中，AB=2AC，cosB=，點D在線段BC上.

（1）當BD=AD時，求的值；

（2）若AD是∠A的平分線，BC=，求△ADC的面積.

簡評：此題立意鮮明，思路寬解法多，極富思維價值，具有一定的探究價值.考試結果顯示，第（1）問大多數學生可以順利完成，得分情況較為滿意.對于第（2）問，由于題目給出的幾個條件不在同一個三角形中，即所給條件比較分散，很多學生缺乏將已知條件盡量集中或轉化到一個三角形中的解題策略，加之許多學生對條件“AD是∠A的平分線”的處理缺乏經驗（原因之一是角平分線的性質定理在初中平面幾何中早已不作要求），因而使求解思路混亂而難以下手，有不少考生甚至放棄此問. 由于考生在本題的耗時比較多且得分率也不太滿意，這說明本題是教學研究的好素材，教師應抓住時機，分析原因，引導學生對此題開展研究性學習.

[?] 試題的立意分析

立意是試題的考查目的.下面從考查數學基礎知識、思想方法和能力素養等方面分析該題的立意.

1. 考查數學基礎知識

本題屬于解三角形的綜合問題，考查了正弦定理、余弦定理、面積公式、角平分線等基礎知識.

2. 考查數學思想方法

本題考查了數形結合、化歸與轉化、分類討論、方程等數學思想. 本題一般用三角法解答，此外，還可運用平面幾何法、解析法、向量法等方法求解.

3. 考查數學能力素養

該題考查了學生的思維能力、運算能力、問題推廣意識.數學能力素養的核心是思維. 本題對思維能力進行了全面考查，通過對解題思路的分析，對解題方法的嘗試與選擇可測試考生的直覺思維能力；通過對三角形邊長的計算、三角形面積的計算等可測試考生的運算能力、邏輯思維能力.

[?] 思路與解法探究

思維心理學認為，發散思維是創造性思維的核心. 本題具有思路寬闊、解法靈活多樣等特點. 本題可以從多種不同角度進行分析與探究，可以得到多種解法.

1. 第（1）問的思路與解法探究

（1）思路一：三角法

欲求的值，自然聯想到正弦定理和余弦定理，因此應想辦法將已知條件盡可能地集中到同一個三角形中.

評注：運用解析法求面積的關鍵在于正確表示出各點的坐標，再根據坐標寫出直線的方程，并利用點到直線的距離公式求出高，進而可求出三角形的面積.

[?] 問題的推廣

著眼于培養學生的問題意識、研究意識和創新精神，可著手于問題的拓展與推廣. 問題的推廣是指對問題進行引申、加強與一般化等. 推廣是培養創新意識、實踐能力的基本途徑，對試題的推廣，有利于促進學生認知的深化，開拓思維的視野，并能培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

推廣1：題干和第（1）題保持不變，將第（2）題的“AD是∠A的平分線”改為“AD是∠A的中線”，BC=，求△ADC的面積.

推廣1將AD是∠A的平分線變為∠A的中線，從而等量關系變為BD=DC，即DC=BC，再按照上面的思路方法即可求出△ADC的面積.

推廣2：題干和第（1）題保持不變，若將第（2）題的“AD是∠A的平分線”改為“AD是∠A的高”，BC=，求△ADC的面積.

推廣3：將題干保持不變，若將第（1）問的“BD=AD”改為“BD=λAD”，那么此時又該怎樣求解呢？

推廣4：將題干中的條件“AB=2AC”改為“AB=λAC”，其余條件和問題都保持不變.

[?] 解題后的回顧與教學啟示

上面的思路探究與解法運用了數形結合、化歸與轉化、分類討論、方程等重要數學思想，并運用了三角法、平面幾何法、解析法、向量法等數學基本方法，有效訓練了數學思維的靈活性、發散性、廣闊性和創造性.

此題對教學的啟示是多方面的：

（1）高三試卷評講課，應重視對一些得分較低的題目的研究，特別是應對那些富含思維價值和探究價值的題目安排一定時間進行重點研究.

（2）應重視數學思想方法的教與學，要讓數學解題過程充滿數學思想的陽光.

（3）數學解題教學要突出“解題策略”的訓練，包括多角度地聯想，大膽地嘗試（包括添加輔助線，構造輔助函數，建立坐標系等），直覺地預估（估算）等.

（4）數學解題教學應重視一般解題規律的總結.對于本題，可以提出如下問題：為什么一個題目既能用正弦定理，又能用余弦定理，還能用勾股定理和直角三角形中的銳角三角函數來求解？為什么本題能用向量法解答？可以讓學生知道：正弦定理與余弦定理等價，用勾股定理和直角三角形中的銳角三角函數可以推出（即證明）余弦定理，用向量法可以推出（即證明）余弦定理和正弦定理.這是本題能用多種方法解答的數學內在邏輯.

通過對這個二模三角題“一題多解”式的研究性學習，即對問題進行思路分析、求解、推廣等探究活動，很多學生對解三角形問題有了比較系統深入的認識. 因此，這道解三角形題目是進行研究性學習的好素材.endprint