基于“理解技術”視角下的教學設計

韓敬

[摘 要] 章建躍博士在報告中強調：在教學中，應充分做好“理解數學、理解學生、理解教學、理解技術” 等工作，其中“理解技術”指的是課堂教學應該與信息技術整合. 本文對“線段的垂直平分線（1）”一課進行信息技術教學嘗試，通過實踐，取得了較好的效果，現呈現教學實錄，敬請同仁們指正.

[關鍵詞] 線段的垂直平分線；信息技術；數學教學；幾何畫板；微課

教學內容說明

本節內容是滬科版《義務教育教科書·數學》八年級上冊第15章第2節第一課時的內容，由于前一節學生已學習了線段垂直平分線的定義，因此本節課的主要內容是線段垂直平分線的作法及其性質的探索.

作圖是一種技能，筆者沒有采用傳統的“教師作圖，學生模仿”，而是采用觀看微課的方式進行教學. 在探索線段垂直平分線的性質定理中，學生經歷了觀察、實驗、猜想、證明的認知過程，教師利用幾何畫板動態直觀演示，幫助學生提出猜想，激發了證明的欲望，性質的證明滲透了轉化思想（即把線段垂直平分線問題轉化為三角形全等證明問題）.

由于本書將“線段垂直平分線”安排在三角形全等、軸對稱（圖形）內容之后，在等腰三角形、角平分線之前，因此采用類比全等三角形學習路徑（即定義——性質——判定）展開研究，這種研究思路對角平分線等幾何內容的研究也有借鑒作用.

教學目標設置

1. 會用尺規作已知線段的垂直平分線，并能說明它的正確性.

2. 掌握線段垂直平分線的性質定理，并會運用.

3. 經歷探索、證明線段垂直平分線性質定理的過程，進一步發展學生的空間觀念、培養合理推理能力和演繹推理能力，滲透類比、特殊到一般的思想.

4. 在探索中，培養獨立思考和合作學習的習慣，培養積極探索、勇于探索的精神，享受獲得成功的喜悅.

教學實錄

1. 溫故類比

問題1：上一章我們系統地研究了全等三角形，你能總結一下研究的思路是什么嗎？

師生活動：教師引導學生回顧研究思路是“定義——性質——判定”.

問題2：類比全等三角形的研究，你認為線段的垂直平分線應該如何研究？

師生互動：從線段垂直平分線的定義入手，研究性質、判定.

設計意圖 回憶全等三角形的學習路徑，為類比研究學習線段垂直平分線提供了一條研究線索，使學生對學習的進程做到心中有數. 這種先行組織者教學策略能激活認知結構中已經具備的相關觀念，使得學生體驗到研究結構上的關聯性，從而學會類比研究. 這種設計思路的導向性強，能很好地落實“發現和提出問題能力”的培養.

師：上一節課已經學習了線段的垂直平分線的定義，你能說說什么叫線段的垂直平分線嗎？

師生互動：學生說定義，教師板書定義，并標示定義中“垂直”“平分”這兩個關鍵詞.

師：接下來，應該研究什么問題？

生：線段垂直平分線的性質.

師：很好，在研究線段垂直平分線的性質之前，我們得會畫線段的垂直平分線.

設計意圖 概念反映的是一類對象在數與形方面內有的、固有的本質屬性，它是問題研究的根本，更是研究它衍生出的其他知識的依據. 回憶概念、找關鍵詞既為后面垂直平分線作法的正確性驗證做了思路上的鋪墊，也為性質定理的證明順利書寫“已知條件內容”埋下了伏筆.

2. 問題探究？搖

問題3：怎樣畫線段的垂直平分線？ 你有哪些辦法？

師生互動：學生動手操作，在學生回答基礎上，教師板書畫法：折紙法、過中點畫垂線法.

追問：除了上面的兩種方法外，還有什么方法？

生：尺規作圖.

師：利用尺規作圖如何作？

學生搖頭，表示不會.

師生互動：教師播放“尺規作圖”的微課視頻（微課片段如圖1、2、3），學生觀看微視頻的作圖過程，然后學生動手作圖，其中一名學生上黑板畫圖.

設計意圖 采用微課視頻教學，能吸引學生的注意力，激發學生興趣，有利于培養學生的觀察能力. 作圖是一種操作技能，學生可以觀看視頻模仿操作，因為學生的接受能力有差異，用微課可以重復播放.

問題4：為什么這樣作出的直線CD就是線段AB的垂直平分線呢？理由是什么呢？（設所作直線CD交AB于點O，如圖3所示）

師生互動：教師提醒，遇到困難應回到定義，利用定義中的關鍵詞“垂直”（垂直即要證90°角或鄰補角相等）、“平分”（平分即要證線段相等），進而將問題轉化成證明OA=OB，∠AOC=∠BOC.

師（追問）：如何證兩條線段、兩個角相等？

生：只要證三角形全等.

師（追問）：圖中有三角形嗎？

生：沒有.

師（追問）：那怎么辦？

生：構造（或畫輔助線），可以連接AC，BC，證明△AOC與△BOC全等.

師（追問）：具備全等的條件嗎？（啟發學生從作圖中獲得“AC=BC”）

生：已知AC=BC，公共邊OC，而“OA=OB”是求證的結論，找邊不行，只能找這兩邊的夾角.

師（追問）：如何說明∠ACO=∠BCO？

……

師生互動： 教師要求學生先獨立思考，再小組交流，小組代表展示成果；教師參與到有困難的小組中，引導再次構造新的一對三角形.

設計意圖 證明CD是線段AB的垂直平分線是難點，需要適當引導. 這里采用連續追問，意在啟發學生如何去想，怎么想，讓學生學會去想. 有了第一次構造全等的經驗，故第二次構造全等是讓學生自己去完成.

問題5：猜想：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離有何關系？endprint

師生互動：根據圖中的“AC=BC，AD=BD”及“O為線段AB的中點”，引導學生猜想：線段垂直平分線上的點到線段兩端點距離的關系，然后讓學生在圖中除點C，D外，任意找一點，度量一下，觀察和猜想是否一致，接著，教師利用幾何畫板度量功能進行演示，進而確認了猜想的命題.

師：一個命題的真假僅靠實驗、猜想是不夠的，還要進行嚴密地推理. 命題證明的一般步驟是什么呢？

生：根據題意畫出圖形，結合命題的條件和結論，寫出已知、求證，最后再證明.

師：很好，請你們在學案上完成這個任務.

師生互動：學生先口述，當形成共識后，教師用PPT呈現：已知如圖4，直線MN經過線段AB的中點O，且MN ⊥AB，P是MN上任意一點.

求證：PA=PB. （證明過程略）

師：到這里，可以大聲宣布，這個命題是正確的，我們把這個真命題稱為線段垂直平分線的性質定理. （板書：線段垂直平分線上的點與線段兩端點距離相等）

師生互動：讓學生結合圖形，嘗試規范地表示出性質定理的幾何語言. 即如圖4，因為MN⊥AB，AO=BO，點P是MN上的任意一點，所以PA=PB.

師：這個定理的條件和結論是什么？有何作用或價值？

師生互動：學生說條件和結論，師生歸納：該性質是用于證明線段相等. 至此，我們證明線段相等又多了一種方法.

師：回顧性質的探索，我們經歷了怎樣的過程？

生：先從特殊猜想，得到命題，最后證明.

師：這種從“特殊到一般”的探究方法，是研究幾何問題的常用方法，這種探究方法在后面的學習還將用到.

設計意圖 性質定理的探索，學生經歷了觀察、度量、實驗、猜想、證明，這符合定理教學的一般過程：發現和猜想命題——證明猜想得到定理——明確定理的條件和結論. 這個經歷不但使學生體會到知識的形成過程，而且體會了用合情推理提出猜想，用演繹推理證明結論這一個幾何研究的基本思考方式. 另外，幾何畫板的直觀演示更增添了猜想的正確度，大大地調動了學生證明的欲望.

3. 解決問題

問題6：你能用今天所學的知識解決問題嗎？

師生活動：（1）若點P在線段AB的垂直平分線上，PA+PB=6 cm，則PB=______.

（2）如圖5，DE是△ABC邊AB的垂直平分線，交AB，BC于D，E，若AC+BC=5，求△AEC的周長.

變式：其他條件不變，對調一個條件與所求的結論，即若△AEC的周長為5，你如何求AC+BC的長？

設計意圖 通過由易到難的梯度練習，有效地促進了學生對線段垂直平分線性質的理解和掌握，實現知識向能力的轉化. 同時，第（2）題既滲透了整體思想，也有利于培養學生的發散思維和創新思維能力.

4. 歸納總結

問題7：（1）本節課你學到了什么知識和方法？

（2）運用了什么數學思想？

（3）如果將線段垂直平分線的題設與結論互換，這個命題還成立嗎？

設計意圖 利用框架從知識、方法、數學思想進行梳理，培養學生整理與反思的習慣，建構新的認知結構，形成系統，問題（3）提出了新的問題，將為下節課的學習做好準備.

5. 分層作業

（1）必做題：教科書P130第2題.

（2）選做題：教科書P131第3題.

設計意圖 分層作業，使人人都能獲得良好的數學教育，不同層次的學生在數學上得到不同的發展. 必做題幫助學生鞏固“雙基”，選做題是為學有余力的學生設計的，培養他們的綜合能力.

教學思考

信息技術輔助教學與數學學科整合已是現代化數學教學方式之一. 利用現代的技術、現代化的教學手段來深化課堂教學改革是必然的趨勢，因此，我們不能排斥，也不能盲目地“濫用”. 對于數學學科來說，可選擇幾何畫板和微課等技術來輔導教學，那么在課堂上如何去用？

1. 用在“重、難點”處

信息技術與課程融合無非就是為了優化課堂教學，提高課堂教學效率. 重點、難點是學生建構知識結構的障礙，為了強調重點，突破難點，教師將重難點問題設計成微課的形式展示出來. 而對每一節課來說，都有其教學的重難點，因此在選用技術時，要充分考慮利用技術能否達到突破重難點的目的，否則寧可不用. 在本課中，讓學生去探究線段垂直平分線的畫法難度很大，即便采用其他的方式來鋪墊，也會花費課堂的大量時間，而畫圖只是一種操作的技能，完全可以采用微課教學來代替傳統的“老師講，學生模仿”的教學方式，這樣即使課堂上掌握不了，課后還可以多次觀看視頻，直至學會為止.

2. 用在“抽象”中

我們知道，數學是研究數量關系和空間形式的科學，數學知識具有高度的抽象性，幾何畫板能很好地把數和形潛在的關系及其變化動態地顯示出來，將抽象的問題直觀化. 在探索線段垂直平分線的性質時，利用幾何畫板的動態演示，學生能直觀地發現：垂直平分線上的點到線段兩端的距離長度在不斷地變化，但相等關系始終是不變的，讓學生感悟變化中的不變性，形成直觀的猜想，激發學生產生證明的欲望，調動了學生思維的積極性，促進了學生合情推理能力的發展和空間想象力的發展. 比如，在平行四邊形的教學中，要弄清楚平行四邊形與特殊平行四邊形之間的關系，可以借助于幾何畫板，拖動邊或頂點，其之間的關系則一目了然. 通過操作，讓學生充分認識到“平行四邊形——矩形”“菱形——正方形”的變化過程，直觀地展現出它們之間“一般與特殊”的關系，有利于理清性質之間的異同點，更好地理解和運用性質.endprint