避開無窮 返璞歸真（上）

張景中+彭翕成

數學中的無窮，常用符號∞表示，來自于拉丁文的“infinitas”，取“沒有邊界”之義。

無窮內容之豐富，就像一個深不可測的海洋，其中不知蘊藏著多少秘密。古今中外關于無窮的著作浩如煙海。

對于無窮，數學家又愛又恨。面對無窮，常常能避則避，但避開無窮不是一件容易的事情。

1.《幾何原本》中的無窮

歐幾里得《幾何原本》中第五公設就涉及無窮。敘述如下：

如圖1，如果一條線段與兩條直線相交，在某一側的內角和小于兩直角的和，那么這兩條直線在不斷延伸后，會在內角和小于兩直角和的一側相交。

這里“不斷延伸”的字句，已經涉及無窮。

“由圓外一點P向⊙O作切線”，現在常見的的作圖法如圖2，連接OP，作OP中點M，以M為圓心，MO為半徑作圓，交⊙O于N，則PN即為所求作的切線。

而《幾何原本》中的作圖法如圖3，連接OP，交⊙O于A，過A作OP的垂線，交以O為圓心，OP為半徑的圓于點B，連接OB，交以O為圓心，OA為半徑的圓于點C，則PC即為所求作的切線。

為什么《幾何原本》中不采用圖2的簡單作法呢？因為圓的直徑所對的圓周角為直角，是由三角形內角和等于180毅推導得到的。使用圖3的作法，就是希望避開平行公設，也就是避開無窮。

素數有無窮多個，在《幾何原本》中的說法卻是“質數比任意給定的一群質數還多”。注意這里避開了無窮。

2.從有限到無窮———三角形內角和定理的證明

理解無窮，要從有窮開始。

研究表明：通過驗證一個三角形的內角和為180毅，就能斷言所有三角形的內角和都為180毅！

問題一共涉及10個變元。其中u1，u2可任意取值，叫做自由變元。一旦u1，u2定了，x1～x8都可以由條件H定下來，所以x1～x8叫做約束變元。利用條件H接觸x1～x8代入C，可得到關于u1，u2的多項式G（u1，u2）。要證明條件H之下有結論C，也就是證明多項式G（u1，u2）恒等于0。容易推出G關于u1，u2的次數都不超過1，于是只要在u1，u2的一個2×2的格陣上檢驗G是否為0即可。這個格陣可取（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），立刻可以算出G在這幾組數值下為0。事實上，對于（u1，u2）=（0，0）=（1，0）根本不用算，因為此時A，B，C三點共線，結論顯然。而在（u1，u2）=（1，1）和（u1，u2）=（0，1）這兩種情形下得到的△ABC是全等的。因而只要對（u1，u2）=（0，1）作檢驗即可。把u1=0，u2=1代入H，得x8=1，x6=1，x7=-1，x5=1，代入C得g=0，這就完成了命題的證明。（參閱《自然雜志》1991年第1期《舉例子能證明幾何定理嗎》）

這表明，只要檢驗4個三角形（實質上是一個），便足以證明三角形內角和定理！

3.“飛矢不動”中的無窮

古希臘著名哲學家芝諾曾經提出“飛矢不動”的怪論。他說箭在每一個時刻都有一個確定的位置，因而在每一個時刻都沒有動。既然每個時刻都沒有動，它怎么能夠動呢？

為了駁倒這個怪論，就要說清楚什么叫動，什么叫沒有動。

如果一個物體的位置在時刻u和后來的一個時刻v不同，我們就說它在時刻u和v之間動了。反過來，如果它在任意時刻t∈[u，v]都有相同的位置，就說它在u到v這段時間內沒有動。

這樣，動或不動都是涉及兩個時刻的概念。芝諾所說“在每一個時刻都沒有動”的論斷是沒有意義的！

芝諾論題的令人迷惑之處，在于運動物體好像要經過無窮多個時刻才能完成運動。而我們在理清動與不動的概念時，可以避開無窮，只在兩個時刻考慮。

4.避開無窮的天才———阿基米德

古希臘的阿基米德是避開無窮的天才。他從拋物線弓形的內接三角形面積出發，成功地求出了拋物線弓形的面積。

如圖5，設拋物線的方程為y=kx（2k>0）。考慮區間[a-h，a+h]上的一段拋物線所構成的弓形。