基于認知負荷理論探析“平面向量”概念的教材呈現(xiàn)
——以人教A版、北師大版教材為例

☉西北師范大學教育學院 張定強

☉西北師范大學教育學院 牛睿芳

基于認知負荷理論探析“平面向量”概念的教材呈現(xiàn)
——以人教A版、北師大版教材為例

☉西北師范大學教育學院 張定強

☉西北師范大學教育學院 牛睿芳

一、引言

向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的重要工具，具有代數(shù)的抽象和幾何的直觀特點.［1］《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》（以下簡稱《課標》）中就明確指出：要求學生了解向量豐富的實際背景，理解平面向量及其運算的意義，能用向量語言和方法表述和解決數(shù)學和物理中的一些問題，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力.［2］從認知學習理論的角度看，教材是服務于教與學的，而知識自身帶有認知負荷，所以，如何將認知負荷控制在一定的適度范圍內(nèi)就成為教材建構(gòu)中思考的一個重要變量.［3］

本文以人民教育出版社出版（A版）和北京師范大學出版社出版（以下簡稱人教A版、北師大版）的兩版高中數(shù)學教材必修4中第二章第一節(jié)向量概念的呈現(xiàn)為例，從認知負荷理論的視角來審視向量概念的教材呈現(xiàn)，以此為高中向量概念的教學提供參考.［4］

二、認知負荷理論視角下的教材知識呈現(xiàn)

澳大利亞認知心理學家J.Sweller及其同事于20世紀80年代提出認知負荷理論，此理論以資源有限理論和圖式理論為基礎，［5］認為認知負荷是指在信息加工過程中個體認知系統(tǒng)中所必需的認知資源和心理活動的總量.由于個體的認知資源有限，一旦其所需要的資源量超過個體的資源總量就會產(chǎn)生負荷，影響學習效率；與此同時，知識是以圖式的方式存儲于個體的長時記憶中，圖式可以幫助形成認知活動的自動化來降低個體的認知負荷.教材知識的呈現(xiàn)就是要使學習者在一種適度的認知負荷內(nèi)完成認知活動，形成穩(wěn)固的認知圖式，不斷地增加認知資源總量.

認知負荷一般分為內(nèi)在認知負荷、外在認知負荷及相關認知負荷三種.內(nèi)在認知負荷是學習材料的內(nèi)在特征給予的工作記憶負荷，它取決于學習材料本身的復雜性和學習者先前的知識經(jīng)驗等因素，那么數(shù)學教材建構(gòu)中基于學生的數(shù)學現(xiàn)實選擇適宜的學習材料來呈現(xiàn)知識就十分關鍵；外在認知負荷是由學習材料的組織和呈現(xiàn)方式給予的工作記憶負荷，那么數(shù)學教材建構(gòu)中知識素材呈現(xiàn)的邏輯結(jié)構(gòu)及表征方式就很重要，如加注一些旁白或?qū)бZ會影響概念的理解水平，會給予學習者外在的認知負荷；相關認知負荷是指在學習過程中會投入額外的認知資源來鞏固知識的形成，幫助建構(gòu)認知圖式的自動化，這種負荷不是由學習材料自身引起的，是激勵和促進學習者學習活動中的認知負荷分配，如教材建構(gòu)中嵌入一些相關的數(shù)學問題會促進學習者的認知負荷分配.

認知負荷理論之下的教材知識呈現(xiàn)不僅要把握知識內(nèi)在特性所產(chǎn)生的內(nèi)在認知負荷，而且要控制學習材料的組織順序所帶來的外在認知負荷，更要考究相關認知負荷對教材知識呈現(xiàn)所產(chǎn)生的影響.特別要關注認知負荷理論之下數(shù)學教材呈現(xiàn)影響學習效果的教學效應，這種效應主要涉及注意分散效應和樣例效應，注意分散效應是指學習材料呈現(xiàn)多種的信息源干擾學習，完成資源的整合會產(chǎn)生一定的認知負荷，這對于初學者影響尤其大；樣例效應是指針對問題給出的示范性解答，以此來借用和重組長時記憶中的圖式產(chǎn)生新的圖式自動化.所以，教材知識概念的呈現(xiàn)既要考量認知負荷，也要注意認知負荷引起的教學效應.

三、研究方法

本文在認知負荷理論架構(gòu)之下采用文本分析法對兩版教材中的平面向量概念內(nèi)容進行比較分析，選取必修4第二章第一節(jié)為樣本來研究向量概念的教材呈現(xiàn).教材呈現(xiàn)就是教材本身顯示或顯露出的內(nèi)容，［6］從向量概念的具體內(nèi)容呈現(xiàn)、編排順序和導入形式三個維度展開，結(jié)合認知負荷理論以及教學效應進行微觀的比較和分析，以發(fā)現(xiàn)兩版教材在平面向量概念的呈現(xiàn)［7］，［8］的異同點.

四、認知負荷理論下“平面向量”概念教材呈現(xiàn)的具體探析

1.教材的具體內(nèi)容呈現(xiàn)比較

就認知負荷理論的視角來看，具體內(nèi)容是其內(nèi)在認知負荷的主要表現(xiàn)，很大程度上取決于學習材料的復雜程度和學生原有的認知圖式，［9］關于向量概念呈現(xiàn)的具體內(nèi)容見表1.

表1 兩版教材中關于向量概念的具體內(nèi)容比較

由表1表明，兩版教材的選擇導入向量概念的內(nèi)容設置有其一致性，按照內(nèi)在認知負荷表現(xiàn)知識自身特性的原則來呈現(xiàn)，用有向線段A—→B表示向量，學習者的認知中包含起點、方向和長度三個學習元素，“A”、“B”和“→”等符號之間的相互關系形成元素的互動從而影響認知負荷的高低；向量的表示方法還有a（黑體小寫字母a），學習者需處理幾種表示方法的內(nèi)在特征，但元素間互動較少，屬于記憶層面，內(nèi)在認知負荷并不高；兩版教材都通過實例闡述向量相關概念，參與認知形成的元素較多，即使是低水平互動仍會產(chǎn)生內(nèi)在認知負荷.從標題就可看出，向量涉及的基本概念非常多且非常重要，需要講解和強調(diào)的內(nèi)容很多，［10］如果單從標題去感知學習內(nèi)容會承受較大的認知負荷.

比較發(fā)現(xiàn)其不同點人教A版中向量概念的呈現(xiàn)是由3小節(jié)、2例題、3個問題旁白、2個注釋旁白和3個圖片旁白構(gòu)成，通過兩個物理學的實例引出概念，過渡到向量的幾何表示，加上一些問題旁白的啟發(fā)，引發(fā)學習者深度思考，雖然加重了一些認知負荷，但有利于深化對向量概念的理解；最后一小節(jié)闡述相等向量與平行向量，用例2來認知這兩個重要的向量，由于概念高度關聯(lián)，差異不大，容易對不同認知水平的學習者形成不同的學習體驗，內(nèi)在認知負荷也受到學習者先驗知識水平的影響；而北師大版教材的向量概念是由2小節(jié)、1例題、8圖片旁注構(gòu)建，形式上不及人教A版豐富，其中第一小節(jié)以物理、生活背景為主，如飛機飛行、去學校、擲標槍、起重機吊物、汽車爬坡等6個實例，這些信息元素的數(shù)量和關聯(lián)程度在物理知識儲備不同的學生之間形成相對認知難度，即知識儲備豐富的學習者認知負荷較低，儲備薄弱者則承受較高認知負荷；第二節(jié)以“向量的概念”獨立成節(jié)，給出了向量相關的知識，如有向線段、長度、零向量、單位向量、相等向量、平行或共線向量等，篇幅明顯不及人教A版多.值得一提的是，北師大教材明確區(qū)分了物理矢量與數(shù)學向量的不同，即向量起點位置可任意這一特性，給出了向量被稱為“自由向量”的解釋，這使得自由向量的呈現(xiàn)不唐突，緩解了學習者的認知負荷.

就教學效應而言物理知識向數(shù)學知識的過渡需要關注知識的本質(zhì)屬性，知識的復雜度和學生的先驗知識水平影響學生概念理解的難易性，因此教學過程中要注意樣例效應和注意分散效應來增進學生分析和解決問題的能力，關注向量的數(shù)學化呈現(xiàn)，培養(yǎng)學生的抽象概括能力，通過學習元素間的低水平互動向高水平互動的過渡進行知識的整合和鞏固.

2.向量概念的編排順序比較

教材是學習者獲取知識的主要媒介，學習材料的編排順序影響學習者的認知活動，直接影響學習的外在認知負荷，表2是兩版教材的編排順序比較.

表2 兩版本教材向量概念編排順序的比較

由表2可以看到，兩個版本的教材呈現(xiàn)的編排順序基本趨于相同，都從物理背景引入向量的概念，抽象出數(shù)學中向量的幾何表示法，通過例子進行知識的拓展，增加學生的認知負荷，加深對概念的理解.兩版教材中向量的模、零向量，單位向量這三個概念的認知負荷表現(xiàn)基本相同，關于模的表征，即向量的長度，用符號“||”表示，在這里需要注意其與代數(shù)中絕對值符號的不同意義，進而降低外在認知負荷.兩版教材均關注了學習者認知的順序性，考慮了學習者認知負荷的潛在因素，但是需要注意信息的豐富度，例如文本中圖示的使用給視覺信息加工增加負荷，根據(jù)資源有限理論，應該考慮文本與圖示的適度匹配使學習者的認知負荷達到平衡.

當然，編排順序還是有一些不同：（1）部分知識點呈現(xiàn)順序不同：北師大版教材的順序為“相等向量→平行向量→共線向量”，平行向量是概念弱化了的相等向量；而人教A版則以“平行向量→相等向量→共線向量”的順序展開，就認知領域而言旨在強化向量由其方向和模決定這一特性.作為初學者，并不具備很高的專業(yè)知識，相近概念的學習需要較高的信息處理能力，否則會出現(xiàn)信息干擾，增加信息處理與儲存的負荷.（2）例題的設置位置不同：人教A版中，向量相關概念講解后例題緊隨其后，學中有練，注重知識的銜接與過渡，促進了向量相關知識的認知圖式自動化；北師大版各部分內(nèi)容緊湊，展現(xiàn)概念的內(nèi)涵與外延，但只在末尾呈現(xiàn)一個例題，樣例效應被弱化.

就教學效應而言學習材料呈現(xiàn)的順序、梯度影響外在認知負荷，教學中應該準確把握樣例的呈現(xiàn)，以及相似概念間的影響，避免學生的注意分散效應；學生的先驗知識水平提供信息處理引擎，但是個體有差異，教學應該協(xié)調(diào)學習者的概念理解，不斷提煉知識的圖式建構(gòu)，增加有效的相關認知負荷，［11］適度控制外在認知負荷.

3.向量概念呈現(xiàn)中設置關聯(lián)認知的比較

所謂關聯(lián)認知是指學習者的學習過程中促進圖式的建構(gòu)而需要投入其他認知資源，表現(xiàn)為相關認知負荷，在教科書的呈現(xiàn)中主要體現(xiàn)為文本里引發(fā)思考的問題旁白和正文后深化知識的練習與習題.兩版本教材中向量概念呈現(xiàn)的相關認知設置比較見表3.

表3 兩版本教材向量概念呈現(xiàn)的相關認知設置比較

由表3可以看到，人教A版的問題旁白與物理學知識相結(jié)合，鼓勵學生思考，培養(yǎng)探究的習慣，在調(diào)動多種學習元素互動參與中增加了相關認知負荷；北師大版中沒有安排問題旁白，但其實例與生活聯(lián)系緊密，緩沖力度適中，以先驗知識水平為出發(fā)點層層遞進，在文本中體現(xiàn)相關認知負荷，也有其合理性；練習與習題方面，人教A版數(shù)量多于北師大版，題目的難易程度遵循先易后難的原則，主要有以方位知識為背景的向量表示、確定幾何圖形中相等向量的數(shù)量等題目；兩版教材的題目設置上人教A版有判斷題，并且要注明理由，對學生的相關認知是一個挑戰(zhàn)，這一點在北師大版的題目中沒有體現(xiàn).不同的相關認知設置體現(xiàn)了不同教材的特色，練習與習題是學生課后鞏固的主要渠道.

相關認知負荷在教學中主要是以問題啟發(fā)為主，還可以嘗試選擇人人頭腦里都有的知識印象作為向量概念的原型，突破向量實際背景只有物理學背景的瓶頸，“問題旁注”是對即將引入的內(nèi)容加以預設，在安排教學中適時強調(diào)，避免資源浪費，并借由相關負荷來促進高級認知圖式的建構(gòu)；課堂練習應該以典型題為主，強調(diào)向量知識的核心要點，這意味著對教師有更高要求，要合理掌控時間，在準確把握學生認知水平的基礎之上，降低注意分散效應，增強樣例效應來引導學生進行思考和探究，不斷深化教學.

五、結(jié)論與建議

1.結(jié)論

（1）兩版本教材內(nèi)容呈現(xiàn)具有相似性，但側(cè)重點不同兩版教材內(nèi)容呈現(xiàn)考慮了學習材料的復雜程度和學生原有的認知圖式，體現(xiàn)了《課標》中現(xiàn)實情境與知識的對應要求，從物理背景向數(shù)學過渡.但是從小標題的呈現(xiàn)可以讀出其不同，北師大版背景獨立成節(jié)，而以向量概念為題展現(xiàn)其相關概念；人教A版分3小節(jié)呈現(xiàn)，篇幅較多，側(cè)重概念與例題穿插講解，但整體來看，二者相似度高.

（2）兩版本教材編排順序基本趨同，部分知識點呈現(xiàn)與例題位置略有差異

兩版本教材注重學生先驗知識水平，調(diào)動相關學習元素的參與，增加物理與數(shù)學學科間的聯(lián)系，體現(xiàn)了外在認知負荷的重要性，遵循物理背景為原型向數(shù)學概念過渡的順序.部分概念呈現(xiàn)順序有差異，例題的位置不同，北師大版教材樣例少，缺少樣例效應可能會加大外在認知負荷.

（3）兩版本教材相關認知的設置稍有不同，習題所涉及的知識范圍相似

人教A版教材中在向量概念的呈現(xiàn)過程中設置問題旁白引發(fā)思考來幫助建構(gòu)知識，注重思考探究，結(jié)合樣例效應、注意分散效應，促進了知識的鞏固；北師大版中沒有設置問題旁注，但教材導入背景充實，選取了合理的預設視角，形成了適中的緩沖力度，體現(xiàn)了對注意分散效應的思考，以促進學生對于向量概念的理解；兩版教材習題內(nèi)容均以方位、速度等物理知識和幾何圖形中相等向量的應用為范圍，所涉及的知識范圍極其相似.

總之，內(nèi)在認知負荷、外在認知負荷與相關認知負荷在總量上有此消彼長的特點，教材的呈現(xiàn)實現(xiàn)了學習者認知資源的重組和建構(gòu)，遵循了認知負荷理論的一個原則，即：應用對學習材料的理解和學科間知識的整合來調(diào)整教材的內(nèi)在認知負荷和外在認知負荷，從而完成相關認知圖式自動化的促進作用，使向量概念更好地儲存于學習者的長時記憶之中.

2.建議

（1）教材編寫建議

通過基于認知負荷理論對向量概念教材呈現(xiàn)的比較分析，了解到不同版本教材知識呈現(xiàn)的特色，在建構(gòu)向量概念的教材時，應全面考察文本解釋、文本解釋與實例是否有冗余信息以及將文本描述整合起來幫助理解概念內(nèi)涵，考慮例子與習題的難易程度，有漸進、有梯度的建構(gòu)，使文本、例題、旁白有機結(jié)合，實現(xiàn)呈現(xiàn)最優(yōu)化.基于學習者的知識經(jīng)驗，并且有利于其學習，是教材知識呈現(xiàn)的一個重要的視角，那么在調(diào)研學生知識水平的基礎上建構(gòu)向量知識網(wǎng)絡勢在必行.因此，在完善教材建構(gòu)中，需要做大量的調(diào)研工作，真正找到學習的切入點，從而使建構(gòu)的教材既不加重學生的認知負荷，又不弱化學生的認知負荷，最大限度地發(fā)揮教材的育人功能.

（2）教學建議

教材服務于教學，因此教師要根據(jù)不同學生的實際認知情況適度運用不同教材，提高教學的靈活性和生動性.向量概念的呈現(xiàn)是物理與數(shù)學學科之間的過度，教材多運用物理實例引入向量概念，在不逾越學習者工作記憶資源有限性的前提下，教育者要判斷學習者的認知水平，可以嵌入其他文化情景，通過增加元素互動數(shù)量的方式使內(nèi)在認知負荷達到最佳水平.向量學習的目標是幫助學生關注元素之間的關聯(lián)性，形成整體的知識網(wǎng)絡.在教學中合理安排圖形、文本、板書的位置，使知識粘合在一起，消解注意分散效應；樣例的改變也會改變認知元素的互動，從而改變認知負荷.因此，要精心選擇樣例，以學生認知水平為基準，通過樣例給學生呈現(xiàn)正確解決問題的每一步驟，以此鞏固知識.關注教學效應不僅降低外在認知負荷方面效果顯著，而且內(nèi)在認知負荷也可以由它們的恰當組合來降低，以此來得到滿意的教學效果.

1.王春燕.高中數(shù)學向量知識的內(nèi)容定位與教學建議［J］.數(shù)學通訊，2007（3）.

2.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）［S］.北京：人民教育出版社，2003.

3.龐坤，段耀勇，迪申加卜，羅藝.從認知負荷理論看數(shù)學教材例題編寫［J］.內(nèi)蒙古民族大學學報（自然科學版），2016（3）.

4.楊麗恒，原文志，馬建宏.基于認知負荷理論的數(shù)學“翻轉(zhuǎn)課堂”教學模式探究［J］.教學與管理，2015（5）.

5.孫崇勇，李淑蓮.認知負荷理論及其在教學設計中的運用〔M〕.北京：清華大學出版社，2017.

6.張定強，蔡娟娥.基于理解視角分析“導數(shù)概念”的教材呈現(xiàn)［J］.高中數(shù)學教與學，2016（3）.

7.劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學4必修A版［M］.北京：人民教育出版社，2007.

8.嚴士健，王尚志.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學4（必修）［M］.北京：北京師范大學出版社，2010.

9.范亞楠，王光明.認知負荷理論簡介及其對數(shù)學PPT教學設計的啟示［J］.數(shù)學教學研究，2015（11）.

10.殷玉波.人教A版“平面向量”起始課研讀與教學［J］.中學數(shù)學教學參考（上旬），2017（1-2）.

11.黃靜.基于認知負荷理論下的對數(shù)概念教學的探討［J］.課堂參考·教材教法，2015（6）.