基于高中數學核心素養的復習課教學設計
——以《曲線的切線方程的求法及應用》為例

☉浙江省臺州市玉環中學 施小斌

☉浙江省嘉興市第一中學 沈新權

基于高中數學核心素養的復習課教學設計
——以《曲線的切線方程的求法及應用》為例

☉浙江省臺州市玉環中學 施小斌

☉浙江省嘉興市第一中學 沈新權

高中三年的數學教學，約有三分之一的時間都是在進行復習，復習是高中數學教學過程中的重要組成部分.復習是知識的再學習，它是學生鞏固所學知識、構建科學的知識網絡、提高問題解決能力的重要手段，因此復習是學生學習過程中必不可少的一個環節.［1］傳統復習課的“題型+方法”的復習方法在學生的數學能力與核心素養的培養方面還存在著一定程度的矛盾與短板：一方面，數學復習時間過長，導致學生對數學的探究興趣減弱，從而認為學習數學就是為了應付高考，數學成了不少學生“苦大仇深”、“深惡痛疾”的學科，有人甚至在網上喊出了“數學滾出高考”的口號；另一方面，在數學學習與復習的過程中，不少學生雖然做了大量的數學試題，但對于一些新穎的試題尤其是高考數學試卷中有著較高能力要求的題目還是一籌莫展，其原因到底是什么？

首都師范大學的王尚志教授認為“高中數學教學中，教師的思路要開，胸懷要大”.“思路要開”就是在教學中要以學生發展為本，培養和發展學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析等數學核心素養；“胸懷要大”就是在教學中要培養學生學會用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言表達世界.東北師范大學的史寧中教授也認為，教師要在數學教學中幫助學生掌握知識、提高能力、發展素養.這就需要把常態教學與核心素養的培養結合在一起，老師們在備課時可以將核心素養的要求呈現出來.因此，在高中數學復習課的教學中，教學設計應體現數學學科的特征，也要符合高中學生的認知規律，依據數學課程目標，特別是數學核心素養的精神，精選教學素材與例題（習題），提高學生學習數學的興趣，幫助學生認識數學的科學價值、應用價值和文化價值.

下面筆者以一堂高三數學復習課《曲線的切線方程的求法及應用》的教學設計為例，來闡述基于高中數學核心素養的復習課教學設計.

一、基于高中數學核心素養的《曲線的切線方程的求法及應用》復習課教學設計

（一）認識曲線的切線方程的地位與作用

與曲線的切線方程相關的內容在《普通高中數學課程標準（實驗）》中，其內容是導數的概念與幾何意義，在《2017年浙江省高考數學考試說明》中，其考試要求是了解導數的概念與實際背景，理解導數的幾何意義.

1.曲線的切線的知識背景

導數是微積分中的重要基礎概念.簡單地講，一個函數的導數就是當自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的變化趨勢（極限）.導數的幾何意義是該函數所表示的曲線在這一點處的切線的斜率.也就是說，函數函數y=f（x）在x=x0處的導數f′（x0）的幾何意義表示函數的圖像在點P（x0，y0）處的切線的斜率.

圖1

本質上講，如果一個函數的圖像在某個區間內的凹凸性是確定的，則函數的圖像在這個區間內的每一點的切線在這個區間內要么恒在函數圖像的上方或者函數圖像的下方（在函數圖像的上方或者下方取決于函數圖像的凹凸性），這就是切線的幾何意義.在圖1中，函數y=f（x）的圖像在點P1（x1，y1）處的切線為y=g（x）（一次函數），而函數y=h（x）的圖像在點P2（x2，y2）處的切線也為y=g（x），從不等式的角度來看，圖1所描述的函數的圖像的切線與函數的解析式之間有著這樣的不等關系：f（x）≥g（x）≥h（x）.因此，利用函數圖像的切線可以證明函數不等式，這種方法也稱之為不等式證明的“切線法”.從高等數學的角度來看，這些知識就是琴生不等式所反映的基本內容.

2.曲線的切線所蘊含的數學思想方法

曲線的切線所蘊含的數學思想方法有函數逼近思想、函數方程思想和數形結合的思想，特別地，這里的數形結合思想為一些函數不等式問題的解決提供了方法和技巧上的指導.

3.曲線的切線的考查內容與方式

在歷年的高考數學試題中，涉及曲線的切線的問題主要有以下三類：第一，求解曲線的圖像經過某點的切線方程（這個點可以在曲線的圖像上，也可以不在曲線的圖像上）；第二，求解曲線的圖像經過某點的切線的條數；第三，利用函數的凹凸性與函數圖像的切線證明不等式.在這三類問題中，前面兩類屬于基礎問題，在復習時，只要掌握曲線的切線方程與切線的條數的求法就可以了，第三類問題中，曲線的切線往往不是顯性的，常常“潛伏”在函數問題的壓軸題中，恰當地利用曲線的切線成為解決這類高難度高考壓軸題的突破口.

（二）曲線的切線方程的求法與應用的教學設計的幾個基本環節

環節一：復習引入

（1）敘述導數的定義并指出導數定義中的關鍵點；（2）當x無限趨近于0時趨向于1，求曲線y=f（x）在x=3處的切線的斜率.

設計意圖：重視學生對導數概念的理解，要求學生既能夠精確的描述概念，又要能夠辨析導數定義中的關鍵點，它是進一步理解、掌握導數概念的關鍵.通過2中的問題，一方面考查學生對導數概念的本質理解，另一方面，引導學生領會函數導數的幾何意義.

環節二：曲線切線方程的求法

1.典例剖析

例1已知函數f（x）=x3，求曲線f（x）在x=1處的切線方程.

設計意圖：從最簡單的問題入手，把學生熟悉的問題作為思維啟動的切入點.

2.變式

（1）已知函數f（x）=x3，求經過點（1，1）的曲線f（x）的切線方程.

（2）求曲線y=2x2-1的斜率等于4的切線方程.

設計意圖：常見的求曲線的切線方程的題型有兩種，一種是在曲線上某一點的切線方程（切點已知型，如例1），一種是求過某點的曲線的切線方程（切點未知型）.通過例1與兩個變式問題的求解與對照，引導學生總結求解曲線的切線方程的基本步驟：

（1）求在曲線上的點（x0，f（x0））處的切線方程的步驟：①求出y=f（x）在x0處的導數f′（x0），得到曲線在點（x0，f（x0））的切線的斜率；②利用點斜式寫出切線方程：yf（x0）=f′（x0）（x-x0）.

（2）求過某點M（a，b）的切線方程的步驟：①設切點為P（x0，y0），切線方程為y-y0=f′（x0）（x-x0）；②由b-f（x0）=f′（x0）（a-x0）求出切點P（x0，y0）的坐標，再代入切線方程即可.

3.編題

在例1和變式的基礎上，你能否適當更換條件，重新給出一道題目？

設計意圖：期待學生通過例1和變式問題的探究，能夠編擬出類似下面的問題：已知函數f（x）=x3，求經過點（2，1）的曲線f（x）的切線方程.把這個點從曲線上“挪”出來，改成曲線外一點，然后求它的切線方程.

環節三：曲線切線條數的求法

例2已知函數f（x）=2x3-3x.若過點P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切，求t的取值范圍.

設計意圖：本題是由2014年北京市高考數學試題（理科）改編的.根據所給具體問題的條件，選擇適當的方法解決問題，是我們數學解題研究的重要課題.例1和變式的研究為例2的解決奠定了基礎，正是有了前面的鋪墊，點燃了學生思維的火花，引導學生將“過點P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切”與“g（x）=4x3-6x2+t+3有3個不同零點”之間進行等價轉化，培養學生用等價轉化的思想解決新的數學問題.

環節四：曲線切線幾何意義的探究

例3設常數k∈R，討論關于x的方程ex=kx實數解的個數.

設計意圖：例3是由2007年福建高考數學試題（理科）改編而來的一個問題，例3的設計希望能夠引起學生對“為什么要研究切線？”“曲線的切線到底有什么用？”這兩個問題的思考.用函數的觀點解決例3可以發揮切線的作用：構造函數y=ex，尋求切線的幾何意義，以切線定位，從運動變化的角度思考，將直線l：y=kx繞原點從y軸順時針旋轉作動態觀察：直線l與曲線y=ex相交于兩點、相切、無公共點、再相交于一點這樣四個典型的變化過程.

環節五：利用曲線切線的幾何意義解決問題

例4已知函數f（x）=ex-ln（x+m）.當m≤2時，證明f（x）＞0.

設計意圖：武術界流傳著這樣一句話，武功的最高境界是“無招勝有招”，數學解題其實也是如此.本題是2013年新課標全國卷Ⅱ的第21題（壓軸題），此題既可以利用函數的最小值來證明，也可以以切線為“橋”考查ex與ln（x+2）的大小關系，從而使得問題得以證明.

環節六：小結

（1）曲線的過某點的切線方程及切線條數的求法；（2）曲線的切線的幾何意義.

設計意圖：通過恰當的提問，將學生再次引入到探究之中，學生對已有的數學知識與方法進行重新發現創造和重新構建，自覺運用學到的研究方法及結論學會發現問題和解決問題的方法.

環節七：作業布置

1.函數f（x）=x3-3x，求過點P（-2，-2）作曲線的切線方程.

2.已知曲線在點（1，1）處的切線與曲線y=ax2+（a+2）x+1相切，求a的值.

3.設函數f（x）=g（x）+x2，曲線y=g（x）在點（1，g（1））處的切線方程為y=2x+1，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程.

4.已知函數f（x）=x3-x.設a＞0，如果過點（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，證明：-a＜b＜f（a）.

（1）求l的方程；

（2）證明：除切點（1，0）之外，曲線C在直線l的下方.

設計意圖：問題1，2，3都是對曲線切線方程求法這個知識點的鞏固，問題4是對曲線的切線條數求法的進一步體驗，問題5則突出曲線切線的幾何意義的挖掘.

二、基于高中數學核心素養的《曲線的切線方程的求法及應用》復習課教學設計分析

即將頒布的《高中數學新課程標準》認為，高中數學教學活動的關鍵是啟發學生學會數學思考，引導學生會學數學、會用數學.教學過程中，要樹立以發展學生數學核心素養為導向的課程意識與教學意識，將核心素養貫穿于數學教學的全過程.因此，復習不是對舊知識的簡單重復，通過復習要使學生加深對所學知識的理解，啟發學生體會知識間的聯系和發展等辯證觀點，使學生不僅獲得“知”，更讓學生得到“識”，使學生既要得到“魚”，又要學會“漁”.

（一）剖析數學概念，提高學生的數學理解

在復習課的教學設計中，環節一往往被教學設計者所忽略，設計時要么對數學概念、定理、公式不進行復習，直接進行解題教學，要么教師自己或僅提問學生對數學概念、定理、公式進行簡單的重復，有時候最多就是加上額外的“三項注意”，至于概念的數學背景如何以及應用概念可以解決哪些問題等方面的問題，教師并不太關心.其實，對數學概念、定理、公式的復習是一個再認識和學習的過程，從定義的理解到關鍵點的把握，再到知識的運用，都是一環扣一環的，在復習時，各種方式要相互結合，循序漸進，在此基礎上促進學生對數學概念的理解，逐步養成學生的數學思維.

環節一是在學生初步掌握導數定義的基礎上展開的，所以首先要讓學生能夠用自己的語言精確地描述導數的定義；同時，要知道導數的概念并不是看一遍或讀一遍就可以了，要深入理解導數這個概念，還應該把握導數概念中的三個關鍵點：第一個關鍵點是對定義中區間（a，b）的理解；第二個關鍵點就是對式子的理解；第三個關鍵點就是要趨近于一個“常數A”.尤其是對于第二個關鍵點，我們在設計時要特別的關注：一是要注意等式右邊的結構特征，這是一個關于平均變化率的結構，這種結構類型我們可以與函數的單調性的定義來進行對比復習，把這兩種關系聯系起來，有助于學生理解平均變化率，也有助于在有些函數問題的解決中幫助學生構造函數.二是在式子中，Δx是一個變化的量，既可以是從小到大，也可以從大到小，也就是說這個Δx不一定就是正數，如果是從左邊逼近，那它也可以是一個負數，不論平均變化率如何上下波動，導數的值同樣是一個常數，也就是定義中的常數A.

學生有了對導數概念的這些理解后，解決環節一中的問題就順理成章了，也為后面環節的教學埋下了伏筆.

（二）選擇典型問題，關注學生的思維品質

在復習課的教學設計中，教師要有這樣一種意識，就是例題的選擇應立足于基礎知識與基本問題，要充分考慮例題所承載的基本技能和基本的數學思想，也就是應當通過典型的數學問題把相對成邏輯體系的知識整合在一起，通過對這些數學問題的探究，培養學生的數學眼光和數學思維.

在環節二和環節三中，從例1這個最基本的問題出發，通過變式給出了曲線的切線方程求法的兩種不同的題型，幫助學生在解決問題中系統地理解和掌握了求曲線的切線方程的基本題型和解題步驟.解答這類問題常見的錯誤是忽略切點既在曲線上也在切線上這一關鍵條件，或受思維定勢的消極影響，先設出切線方程，再利用直線和拋物線相切的條件，使得解題的運算量變大.變式雖然變換了問題的條件和結論，變換了問題的形式，但不改變問題的本質，使本質的東西呈現得更徹底.通過例題1及變式問題的解決，不僅讓學生掌握曲線切線方程問題求解的通法，而且能夠讓學生了解這種問題的命題方式，在研究解題方案的過程中，根據題目的結構，改編類似的問題或構造新的問題，以達到鞏固知識、活用方法、舉一反三的目的，也為解決環節三中的例2提供思路.從環節二到環節三，從例1及其變式，再到例2，問題中曲線切線的條數也從1條到2條再到3條，既體現了數學問題靈活變化的特點，更突出了在復習教學中對數學研究方法的滲透.

（三）挖掘問題本質，重視學生的思維過程

環節四中例3這個問題的出現是意料之外卻又是情理之中的.會求解曲線的切線方程或者曲線的切線的條數問題，其實并不難，但如何內化學生對曲線的切線本質的認識？例3起到的是橋梁的作用.在例3中，借助曲線y=ex的切線，容易有如下結論：（1）當k＞e時有兩個不同實數解；（2）當k=e或k＜0時有唯一解；（3）當0≤k＜e時無解.如果例3的解決到此為止，那么這僅僅是一個數形結合問題的典型例子，我們還沒有充分挖掘這個問題對于切線所特有的功能與本質.

例3這個小問題，隱藏著數學中的大道理.通過對例3的解決，借助數形結合思想，從形的角度我們就能夠得到一個不等式：ex-1≥x，也就是ex≥1+x，這個不等式對一切x∈R恒成立（x=0時取等號），其幾何意義是y=x+1是y=ex的一條切線，切點為（0，1），曲線y=ex恒在其切線y=x+1的上方，這個不等式實際上就是由高等數學中的泰勒展開式得到的一個不等式特例，但這個不等式蘊含著非常豐富的數學內涵.

對不等式ex≥1+x進一步探究，我們還可以得到更廣更一般的對于解題有極大幫助的結論.在不等式ex≥1+x兩邊取自然對數，則有ln（1+x）≤x（x＞-1），其中等號在x=0處成立.另外，由于對于所有的x＞-1，總有所以從而對于所有的x＞-1，有恒成立.特別地，對于任意的x＞0，有上面的這些不等式在處理有些高考數學壓軸問題時有著廣泛的應用.譬如2007年山東卷高考數學（理科）壓軸試題最后一問“求證：對于所有的正自然數如果沒有前面的不等式作為鋪墊，這個問題對很多學生來講還是有困難的，借用前面的不等式，其證明就是分分鐘的事情：ln

數學學習是需要思考的，在復習課的教學中，教師的一項重要責任，就是要引導和啟發學生主動思考，學生的這種處理問題的能力靠題海戰術是練不出來的，在教師的引導下，學生通過思考，才能領略問題的內涵，挖掘問題的本質，讓學生在掌握所學知識技能的同時，積累思維的和實踐的經驗，逐步形成數學核心素養.

環節五中例4的解決，可以從恒成立的角度，借助ln（x+m）≤ln（x+2），只需證明函數g（x）=ex-ln（x+2）的最小值大于0.在教學過程中，這種方法我們也要引導學生去思考，這是解決這種問題的通法，通過這種方法可以培養學生的運算能力.但如果我們心中有圖（圖2），借助切線，則我們可以“不戰而屈人之兵”：根據前面的分析，我們只需要證明ex≥ln（x+2）.由ln（1+x）≤x，得ln（x+2）≤x+1，又ex≥x+1，從而ex≥ln（x+2）不證自明.后一種分析方法無疑更能夠突出切線在不等式問題解決中的作用，也更能夠接近這個問題的本質.

圖2

因此，這道問題的分析和解決再次突出了曲線的切線的幾何意義，升華了學生對曲線的切線幾何意義的進一步認識.

（四）布置精準練習，提升學生的核心素養

在數學復習課的教學設計中除了重視對數學概念的剖析，重視對數學本質問題的挖掘以外，還應該要重視對數學問題的解決方法以及對數學規律的小結.這里的環節六與環節七正是為此設計的.每一堂課的小結非常重要，它可以起到承上啟下的作用，小結不僅能幫助學生理順知識結構，突出重點，突破難點，在小結的過程中還可以幫助學生穩固知識點和數學方法與思想，也正是在這種在不斷地遇見問題、發現問題、解決問題并總結歸納的過程中才使學生的核心素養得到不斷的提升.在數學復習課的教學設計中作業的布置主要是根據復習課的教學目標來設計的，它有兩方面的功能：第一功能是評價，第二功能是鞏固提高.因此，在基于核心素養的數學復習課的教學設計中，作業除了考查學生基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗等獲得程度同時，還要落實學生解決問題的能力的提高，更要培養學生從數學角度發現和提出問題的能力，以此促進學生數學核心素養的形成與發展水平.

三、結束語

隨著高中數學新課改的不斷深入，對高中數學教師的要求尤其是專業能力的要求也與日俱增，教師只有在很好地把握數學內容的本質的基礎上，才能夠高屋建瓴.在教學設計時在學生的知識基礎上創設合適的教學情境，提出合理的問題，選擇符合學生認知特征和規律的例題，從而啟發學生獨立思考，讓學生在掌握知識技能的同時，感悟數學的本質，讓學生在積累數學思維經驗的同時，形成和發展學生的數學核心素養.

1.沈新權.高中數學復習課的教學設計與實踐［J］.中學數學教學參考，2012（8）.

2.沈新權，施小斌.MPCK視角下的高中數學復習課教學——以空間角的求法設計為例［J］.中學數學（上），2016（3）.