偏文類學生數學教學輔助策略探索

☉江蘇省新沂市高級中學 王登平

偏文類學生數學教學輔助策略探索

☉江蘇省新沂市高級中學 王登平

全新的課程改革正在醞釀，新的課程標準已經于2017年初制定完畢，對于數學學科而言，文理科分科正在這一輪課程改革中逐步取消，有些省份走在課程改革試點前沿（如浙江、上海已經取消文理分科）.但對于學生而言，卻不會因為文理分科的取消而沒有層次差別，有些學生依舊是偏理型的人才，而有些學生則依舊擁有偏文類的特點.如何面對文理分科取消后的數學教學？如何在數學教學中將偏文類學生與偏理類學生一起教學？面對解題困擾時，教師如何掌控這一教學難點？這些都成為數學教學新面臨的疑惑點.

筆者認為新的教學起點，新的契機，要有新的嘗試.可以從幾個方面來思考偏文類學生數學教學的一些輔助策略，將這一策略實施到位，有助于偏文類學生在數學學習中獲得一定的成功感.本文結合教學片斷和案例與大家一起交流.

一、注重學情，因材施教

偏文類學生與偏理類學生最大的不同在于其感性化程度較高，理性化抽象思維較弱.對于偏文類學生的教學正是要基于學生的這一重要特性，進行不同的教學設計，從知識理解的角度設計一定的感性部分，逐步將知識上升為理性層面，以求獲得知識的鞏固和理解.

案例1對定義域為R的函數f（x），其相關式子f（a+x）=f（b-x）與f（a+x）+f（b-x）=0的理解.

分析：不少偏文類學生對于這種側重抽象含義的數學表達式理解存在困難，其一，懼怕抽象式；其二，不理解；其三，因為這種循環造成了實際問題中也無法面對這些抽象表述，從而無法獲得學習的快樂.筆者認為對于偏理類學生，我們更多的是依照教師自身多年的教學經驗，結合抽象表述進行一番思考即可.但是對于偏文類學生而言，這一招幾乎沒用，因為其根本無法直接進入理性思考的層面，因此針對學情因材施教才是關鍵.將其分為三個步驟進行教學：

（1）思考特殊關系式，令a=b=0，表達式f（x）=f（-x）表達的含義是什么？顯然說明定義域為R的函數f（x）是偶函數，其圖像關于x=0（即y軸）對稱.

（2）對于表達式f（a+x）=f（b-x），首先令x=1、x=2、x=3等多個變量取值，觀測不同變量帶來的影響，可以發現f（a+1）=f（b-1）、f（a+2）=f（b-2）、f（a+3）=f（b-3）等，顯然其說明定義域為R的函數f（x）其圖像關于對稱.

圖1

（3）進一步從更高層面的理性角度思考，對于f（a+x）=f（b-x）中，a、b為兩個常數，對定義域為R的函數而言，即x任意變化情況下，我們作出其圖像（如圖1）.

抽象式f（a+x）=f（b-x）所表示的含義：自變量x1=a+x與x2=bx到它們的中點等距離，且（fx）=（fx），考慮到變量12的任意性，因此自變量x1=a+x與x2=b-x到它們的中點永遠等距離，且函數值一定相等，從而可知定義域為R的函數（fx）圖像關于直線成軸對稱.

同理：對f（a+x）+f（b-x）=0所表示的含義，也可以分為三步驟進行，思考教學中最基本的奇函數概念及其性質，即該表達式中a=b=0，因此獲得了f（x）+f（-x）=0的更進一步的理解，對于更為一般性的表達式f（a+x）+f（b-x）=0，正是可以從這樣的視角首先思考；最后理性環節的思考可以與上述第三步驟一樣作出其圖像（如圖2）.抽象式f（a+x）+f（b-x）=0所表示的含義：自變量x1=a+x與x2=b-x到它們的中點等距離，且f（x1）+f（x2）=0，即函數值互為相反數，由自變量的任意性，x1=a+x與x2=b-x的函數值互為相反數，從而可知函數f（x）關于點成中心對稱.

圖2

變式：對定義域為R的函數f（x），其相關式子f（x+a）=f（x-b）的含義又說明什么呢？

分析：顯然本問題的結論是思考函數的周期性，但是偏文類學生往往又和第一個問題類型混淆.建議學生從特殊情形入手思考，取a=b=0，顯然為恒等式；取a=b=1，則f（x+1）=f（x-1），顯然與上述軸對稱和中心對稱均不相同，從一個角度再輔助偏文類學生思考，再次嘗試令x=1、x=2、x=3，發現可得f（2）=f（0）、f（3）=f（1）、f（4）=f（2）等一系列值，這恰意味著周期性的體現.可以引導學生進一步進行理性證明，令x-b=t，則f（x+a）=f（x-b）?f（t+a+b）=f（t），由周期的定義可知，定義域為R的函數f（x）的周期為|a+b|.

可見，對于偏文類學生的教學要特別注重學生的感性思維，可以適當地將較難的數學抽象知識分割學習、逐步深入，大大舒緩了偏文類學生的數學學習過程、提高了學習的積極性，將注重學情的教學設計結合螺旋式上升的教學過程，則符合偏文類學生學習認知心理，是有效的教學.

二、強調特殊，注重歸納

與偏理類學生不同的是，偏文類學生更要注重從特殊到一般的歸納推理方式，而不是演繹推理.這與偏文類學生的思維特征緊密相關，因為偏文類學生思維的層次性不夠，這就要求教學中更好的方式是首先獲取問題的答案，然后回頭思考怎么獲得一般性的過程.從特殊到一般，是歸納推理的典型運用.

案例2已知函數f（x）的導函數為f′（x），若2f′（x）＞f（x）對任意的x∈R成立，則3f（2ln2）與2f（2ln3）的大小關系為___________.

分析：本題為導數運用問題，其本意是從構造類的角度思考導數的運用，但是對于偏文類的學生而言，其根本未能意識到這一知識使用的層面，因此可以換一個角度首先思考答案的判斷.因為2f′（x）＞f（x），對任意的x∈R，令f（x）=ex，顯然f（x）滿足題意，因此3f（2ln2）=3e2ln2=12＜2f（2ln3）=2e2ln3=18，因此3f（2ln2）＜2f（2ln3）.對于偏文類學生來說，答案的判斷顯然獲得了成功，從應試角度來說已經成功.新課程標準明確提出了要學生獲得適合其自身發展的數學，因此對于不少偏文類學生而言，能掌握這種特殊化的問題解決思想，已經是一種足夠的數學，就如天津師大王光明教授所說：“沒有必要人人都去研究形式化的數學過程和結論，獲得適合自身發展的數學才是關鍵和必需的.”

最終確定了問題的答案，對于偏文類學生而言，也可以讓學生進一步體會知識運用的合理性，一般性的方式方法怎么尋求解決之道.本題是典型的函數構造類，考慮到選項中的數值，將3（f2ln2），2（f2ln3）變形為比較這兩個數的大小關系，因此容易想到構造函數，研究其導數又對任意的x∈R時2f′（x）＞（fx）成立，因此2f′（2lnx）-（f2lnx）＞0，故g（′x）＞0成立，所以g（x）在（0，+∞）上為增函數.又2＜3，故g（2）＜g（3）? （f2ln2）＜ （f2ln3），即3（f2ln2）23＜2（f2ln3）.另外，本題的函數構造不僅僅只有一種，還可以是有興趣的讀者可以再類似推理思考.筆者對這樣的問題的教學建議是，運用典型的歸納推理思想，從特殊到一般，這正是偏文類學生適合的、喜歡的方式.

三、強化代數，善用圖形

偏文類的學生對問題的一般思路更偏重運算的角度，即代數化，對于圖形思維的角度考量不多，也不善于思考.筆者以為正是因為偏文類學生這樣的普遍特點，我們教學更要重視思考，以偏文類學生的特點為切入點，強化其所需的代數運算能力，進一步開發其圖形思考的方面，力爭從數與形兩個角度對不同偏文類學生進行加強.

案例3向量a，b，c滿足，則|c|的最大值等于______.

分析：偏文類學生的思考主要是從數量積基本運算的視角出發，由題意，由（a-c）·又，所以，化簡得|c|2≤2+（a+b）·c≤2+|a+b·||c|=2+|c|，得|c|2-|c|-2≤0?|c|≤2，即最大模長為2.顯然這種教學方式偏文類學生比較喜歡，因為注重的是數量積運算和均值不等式，但是能算到底的學生并不是太多，因此也要向學生滲透圖形的思路.

另法：向量a，b滿足夾角120°，且a-c與b-c的夾角是60°，以四點共圓來建構圖形.如圖3，設則∠AOB=120°，∠ACB=60°，可知點C的軌跡是優弧上一動點，顯然當點C為優弧中點時取到最大值，即為O，A，B，C四點所在圓的直徑.易得，在△ABC中，由正弦定理知

圖3

限于篇幅，本文就偏文類學生數學教學提出了符合新課程理念教學的三個輔助視角，即概念教學的多步驟、層次性，解題教學的特殊化、歸納推理，解題思想中的強化代數、善用圖形等，這些都是偏文類學生沒有完全做到位或者欠缺的.因此，筆者以教學實踐中的思考做了一番不成熟的總結，懇請讀者繼續補充指正，引導偏文類學生進一步在數學學習上獲得高效和有效的途徑.

1.方厚石.函數教學詮釋思維品質［J］.數學通訊，2014（1）.

2.吳成海.數學試題創新應著力于思維培養［J］.中學數學，2013（8）.

3.李廣修.追求非功利化的數學教學［J］.中學數學月刊，2015（2）.