高中數(shù)學(xué)習(xí)題課開展探究性學(xué)習(xí)的實踐性思考

☉江蘇省蘇州市吳江汾湖高級中學(xué) 盧 平

高中數(shù)學(xué)習(xí)題課開展探究性學(xué)習(xí)的實踐性思考

☉江蘇省蘇州市吳江汾湖高級中學(xué) 盧 平

數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)這一主陣地上如果只是專注于知識的呈現(xiàn)、識記、闡釋及理解，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的功能因為數(shù)學(xué)思考及研究方法的感悟不夠而被無形降低.不過，教師如果能夠在教學(xué)中精心設(shè)計教學(xué)活動的推進(jìn)并注重培養(yǎng)學(xué)生的思考，學(xué)生的認(rèn)識力往往能夠在這樣有意義的過程中得到有效的鍛煉和提高.因此，那些能夠給予學(xué)生足夠時間與空間進(jìn)行觀察、實驗、猜想、驗證、推理、計算及證明的各種數(shù)學(xué)活動是非常有必要的，學(xué)生對概念的理解、數(shù)學(xué)知識技能及思想方法的掌握往往會在這些有意義的活動中得以實現(xiàn).

近年來，各地在課程教學(xué)改革的研究中均把探究性學(xué)習(xí)進(jìn)行課堂教學(xué)重構(gòu)作為研究的重點(diǎn)，探究性學(xué)習(xí)成為了變革學(xué)習(xí)方式最為主要的手段.事實上，豐富并改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式確實已經(jīng)成為我國基礎(chǔ)教育課程改革的基本理念之一，課程標(biāo)準(zhǔn)也明確了高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該著力倡導(dǎo)學(xué)生的自主探索、動手實踐、合作交流及閱讀自學(xué)等，那些局限于知識的接受、記憶、模仿以及練習(xí)的學(xué)習(xí)活動應(yīng)該得到有力的整改，使得那些有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)主動性的方式最大程度地發(fā)揮學(xué)生的“再創(chuàng)造”能力.由此我們也可以看出，探究性學(xué)習(xí)在新課標(biāo)中的地位是相當(dāng)突出的，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中一定要給予學(xué)生足夠的時間與空間以促成探究性學(xué)習(xí)的常態(tài)化.

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對重點(diǎn)知識的理解能夠做到舉一反三、觸類旁通離不開典型練習(xí)題的引領(lǐng)，離不開對這些練習(xí)題的變式發(fā)散.因此，教師在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中應(yīng)突出解題方法的總結(jié)與解題規(guī)律的提煉，將一題多解、一題多變、多題一解等多種形式穿插運(yùn)用于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，使得學(xué)生的思維品質(zhì)在分析問題與解決問題中不斷提升.以下是解題多樣性及變式訓(xùn)練的實際解題研究.

例1當(dāng)x＞e時，證明ex-1＞xe-1.

引導(dǎo)學(xué)生探究：（1）構(gòu)造函數(shù)G（x）=ex-1-xe-1能不能解決此問題呢？（2）如果不能，應(yīng)該將結(jié)構(gòu)如何變形或者調(diào)整呢？（3）指數(shù)式一般能轉(zhuǎn)化為其他什么形式？

教師給出問題后應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立的或者合作的探究，使得解題的思路與方法在探究學(xué)習(xí)中逐步形成.

首先，引導(dǎo)學(xué)生將指數(shù)式轉(zhuǎn)化成對數(shù)式，即有當(dāng)x＞e時，證明（x-1）lne＞（e-1）lnx成立.然后，構(gòu)建新函數(shù)H（x）=（x-1）-（e-1）lnx進(jìn)行嘗試，求導(dǎo)后得，所以H（′x）在（e，+∞）上單調(diào)遞增，故H（x）＞H（e）=0，原題得證.

另外，引導(dǎo)學(xué)生探究其他的證明方法并嘗試對結(jié)構(gòu)式進(jìn)行變形.比如，兩邊同除以（x-1）（e-1）可得.繼續(xù)構(gòu)造新函數(shù)問題同樣得解.

事實上，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中不斷地發(fā)現(xiàn)著矛盾并探究、解決著矛盾，因此，教師應(yīng)充分利用數(shù)學(xué)知識發(fā)展過程中存在的問題，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問題的思考實現(xiàn)以滿足學(xué)生探究的欲望.

例2若x≥0，證明

引導(dǎo)學(xué)生探究：（1）根據(jù)以往經(jīng)驗證明（fx）≥g（x）有什么方法？（2）不加變形，直接構(gòu)建函數(shù)可以證明嗎？（3）針對結(jié)構(gòu)式，可實施哪些變形？

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下證明：

（1）兩邊同乘以ex，構(gòu)建（函數(shù)值與1比較），求導(dǎo)的，易證G（1x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，從而G（1x）≤G（0）=1，得證.

（3）兩邊同乘以e（xx+4），構(gòu)造G（3x）=e（x3x-4）+x+4（數(shù)值與0比較）.設(shè)F（x）=e（x3x-4）+x+4，則F（0）=0，且F′（x）=e（x3x-1）+1，F(xiàn)′（0）=0.令G（x）=F′（x），則G′（x）=e（x3x+2）.因為x≥0，所以G′（x）＞0，從而函數(shù)F（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增，即F（x）≥F（0）=0.教師在探究活動結(jié)束后讓學(xué)生個體或者小組代表進(jìn)行了自身解題思路的交流，使學(xué)生的解題設(shè)想與思維真正暴露在大家面前，挖掘?qū)W生思維閃光點(diǎn)的同時也分析了學(xué)生錯誤思維的原因.

引導(dǎo)學(xué)生探究：根據(jù)題意，用不等式的方法對此題直接證明很顯然是比較難的，變形的方法其實是很多的，你有哪些想法？

引導(dǎo)學(xué)生諸如以下幾例的嘗試構(gòu)造：

提出問題：①以上所有根據(jù)題意構(gòu)造出的新函數(shù)對于解題能夠產(chǎn)生實質(zhì)性的幫助嗎？②我們在對題目進(jìn)行變形時應(yīng)該將探究的重點(diǎn)放在哪些地方呢？

進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行以下式子的探究構(gòu)造，檢測其是否能夠解決問題：

經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，可行的也只有（4）式，證明如下：設(shè)h（x）=1-x-xlnx，得h′（x）=-lnx-2，所以h（x）max=h（e-2）=e-2+1.故1-x-xlnx≤e-2+1.設(shè)φ（x）=ex-（x+1），φ′（x）=ex-1，所以φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，φ（x）＞φ（0）=0，φ（x）=ex-（x+1）＞0，即.所以1）.即對任意都成立.

教師在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行此題解法的討論結(jié)束以后可以繼續(xù)引導(dǎo)他們進(jìn)行探究過程的歸納與總結(jié)，總結(jié)可以從以下三個方面進(jìn)行：①宏觀角度上的解題策略的歸納，依據(jù)波利亞解題的弄清問題、擬訂計劃、實現(xiàn)計劃以及回顧小結(jié)這四個步驟對問題解決的過程進(jìn)行再次確認(rèn)，從而使得自身對題目及題目所涉及的概念進(jìn)行深層次的認(rèn)識；②微觀角度上的解題思路的總結(jié)；③對解題中所運(yùn)用的或者隱含的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行歸納與總結(jié).

習(xí)題課這一數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的課型往往能夠通過例題、習(xí)題的教學(xué)幫助學(xué)生鞏固所學(xué)的概念、公式，并使學(xué)生在解題技能、掌握解題思想方法的過程中達(dá)成鞏固雙基、夯實基礎(chǔ)的目的，新舊知識之間的聯(lián)系，以及學(xué)生分析問題、解決問題的能力往往也能從經(jīng)典的練習(xí)中得到有效的鍛煉與提高，具體來說，教師在習(xí)題課的教學(xué)中可以從以下幾個方面做起.

（1）用題目引動雙基的復(fù)習(xí)與鞏固.習(xí)題課上給學(xué)生獨(dú)立完成教師精心設(shè)計的題目在很多時候并不是僅僅為了學(xué)生的習(xí)題練習(xí)，其深層的含義在于幫助學(xué)生對各知識點(diǎn)進(jìn)行有意義的復(fù)習(xí)與鞏固，這一取代知識點(diǎn)簡單羅列的做法往往在學(xué)生的概念復(fù)習(xí)中能夠取得尤為顯著的效果.學(xué)生在問題解決中對概念進(jìn)行了有效的復(fù)習(xí)，課堂教學(xué)內(nèi)容中所涉及的基本概念、公式及方法都在解題中得到了綜合的運(yùn)用，雙基的復(fù)習(xí)也因此有了更好的固著點(diǎn)與落腳點(diǎn)，對于概念的復(fù)習(xí)與理解也因此得到了更為有意義的提升.

（2）用典型例題的探究幫助學(xué)生釋疑與糾錯.教師在幫助學(xué)生復(fù)習(xí)的時候應(yīng)依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平作出適當(dāng)?shù)难由欤瑸閷W(xué)生提供經(jīng)典的例題供其進(jìn)行獨(dú)立的思考或是合作的探究，使得學(xué)生在討論與探究中獲得解題的思想方法，在此基礎(chǔ)上再令學(xué)生進(jìn)行探究成果的交流，使得學(xué)生解題的方法與思維一一呈現(xiàn)，將思維過程中科學(xué)的、不科學(xué)的東西都暴露出來，并因此得到最終的釋疑糾錯，最終對數(shù)學(xué)概念、公式、定理等的認(rèn)識才會更加趨于成熟與完美.

（3）變式發(fā)散訓(xùn)練促成學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高.經(jīng)典例題的解決并不是意味著學(xué)生探究學(xué)習(xí)活動的終止，教師還應(yīng)該在此基礎(chǔ)上進(jìn)行例題變式發(fā)散的引導(dǎo)性訓(xùn)練，具體可以有以下兩種做法：①教師對經(jīng)典例題作出精心設(shè)計的變式問題的發(fā)散與延伸，并因此引導(dǎo)學(xué)生對教師所做變式進(jìn)行討論與解決；②用開放性的問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變式與發(fā)散的嘗試，使得學(xué)生在開放性問題的引領(lǐng)下優(yōu)化自身的思維品質(zhì).

（4）自主歸納總結(jié)促成學(xué)生認(rèn)知提升.學(xué)生在例題的變式發(fā)散及延伸探究之后往往已經(jīng)能夠產(chǎn)生比較深刻的認(rèn)識了，解題能力也在這一階段得到很大的提升，教師在此時如果能夠啟發(fā)學(xué)生對解題方法與數(shù)學(xué)思想進(jìn)行自主歸納總結(jié)的話，知識的表征往往也就在學(xué)生心中更加穩(wěn)固地形成了.

數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最為終極的目標(biāo)自然是問題的解決，因此，對數(shù)學(xué)問題的探究便也理所當(dāng)然地成為數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的主要形式.習(xí)題課中的探究學(xué)習(xí)使得以往“炒冷飯”式的復(fù)習(xí)模式遭到了顛覆，學(xué)生的自主探索、獨(dú)立思考、合作交流及主動構(gòu)建知識在探究性學(xué)習(xí)中得到了最為有意義的鍛煉，創(chuàng)新意識與實踐能力也在自主探究性學(xué)習(xí)活動中不斷提升.