漫談函數模塊中的相關概念教學

☉江蘇省張家港市沙洲中學 何燕萍

漫談函數模塊中的相關概念教學

☉江蘇省張家港市沙洲中學 何燕萍

概念教學是數學教學的難點和重點，也是不少學生學習不太重視的地方.很多學生或許會認為學好數學關鍵是要會做題目，數學概念無非就是幾個公式，幾個定理，有什么重要的，其實每個數學概念都有其深刻嚴謹的思想內涵，是構建數學大廈的基礎，近年來的高考試卷也很好地考查了數學概念，涉及數學概念的考題清楚明了，又有一定的深度.由此，在平常的教學中，應該重視概念教學，這會讓我們不斷豐富自己的知識架構，并能通過本質思考更深的現象.

筆者所在學校的學生普遍數學基礎薄弱，尤其在接受能力上，與優秀學生相比確實存在著一定差距，那么怎樣才能夠挖掘這部分學生的潛力？筆者思考：提高學生的數學能力，取得最為高效的學習效果，在課堂上究竟是應突出概念教學？還是要以解題教學為主？這值得教師探究.本文結合一下筆者在平常教學中遇到的問題，談談對于函數模塊中有關概念教學的一些認識和做法，與讀者交流.

一、重視對概念本質的理解

一直在思考這樣一個問題，為什么學生對于數學概念遺忘得那么快，特別經過一段時間后，學生似乎對每個數學概念都得要重新認識，筆者認為，歸根結底是學生沒有很好地理解數學概念和數學思想，他們只是掌握了表面，在做題時也只是注重模仿，一旦稍有變化，就手足無措了，因此需要全方位地理解數學概念.要理解數學概念，首先需要注重數學語言文字符號的理解.

數學概念都是用文字或數學符號敘述的，尤其是語言文字，描述時不僅準確，而且精煉簡明，因此對于數學概念的辨析上，要深深體會每句話的表達意思，有時甚至要達到”咬文嚼字”的地步.

案例1：函數的單調性.

單調性是函數三大性質之首，也是學生第一個學習的函數性質定義.用圖像感官的認知是非常容易的，但是對于深刻理解單調性的定義還是需要一定的深思.教材對于單調性的定義是這樣描述的：

設函數（fx）的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1＜x2時，都有（fx1）＜（fx2），則稱函數（fx）在區間D上是增函數；如果對于定義域I內的某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1＜x2時，都有（fx1）＞（fx2），則稱函數（fx）在區間D上是減函數.

定義中關鍵是要理解“任意兩個自變量的值x1，x2，當x1＜x2時，都有（fx1）＜（fx2）”這句話的含義，尤其是“任意”，“都有”這些文字怎么把握，例如，很多學生對于y=在定義域上的單調性如何描述感到非常困惑，經常問這樣一個問題，到底什么時候可以用“∪”，什么時候又只能用和或逗號隔開，其實要突破這個難點，關鍵還是要逐字逐句理解單調性的定義，如果回答在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上為減函數，那根據單調性的定義，任意在這個區間上取x1，x2，當x1＜x2時，都有（fx1）＞（fx2），比如，取x1=-1，x2=1，滿足x1＜x2，但（fx1）＜（fx2），但取x1=1，x2=2，卻滿足（fx1）＞（fx2），因此這樣的回答是錯誤的，沒有滿足定義中“任意”和“都有”的條件，正確的回答應該是在（-∞，0）和（0，+∞）上均為減函數.

二、多角度構建問題分析概念

對于數學概念作進一步理解，應該從多角度去把握，也可以從正面辨析和反面比較，尤其是一些較抽象的數學概念，要構建一系列問題，從問題的解決中，使學生逐步對數學概念有一個準確、深刻的理解.

案例2：函數的概念.

函數概念是中學數學最為重要的概念.對于教學的實現手段，一般采用了豐富的概念模型，讓學生從頭腦中建立對應的關系，從而深刻體會這種變量間相互依賴的重要模型，最后用數學的語言進行了表述和總結.在函數學習中，為了刻畫深刻和理解到位，在學習中需要積極體會函數的三個要素，其目的還是要讓學生了解函數這個抽象的概念：

設A、B是非空的數集，如果按某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f（x），x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合｛f（x）|x∈A｝叫做函數的值域.

讓學生僅僅從文字上去理解，由于描述的比較抽象，顯然不能達到好的效果，應該設計一些問題，促進學生對函數概念的思考，從而幫助學生理解：

圖1

圖2

問題1：以上兩個圖像（圖1和圖2）是不是函數的圖像？

問題2：y=1與y=0·x+1是不是同一個關于x的函數？

問題3：y=x2+1與y=t2+1是不是同一個函數？

問題5：y=x2，x∈｛-1，0，1｝與y=|x|，x∈｛-1，0，1｝是否為相同的函數？

建立上述合適的問題變式，通過一系列問題變式，加強學生對于函數概念外延和內涵的認識.筆者認為，可以通過學生的辨析討論，一起弄清上述問題，進而在問題的解決過程中，進一步讓學生討論更深層次的問題：“函數的對應關系，只強調結果不強調過程”，“函數即解析式”，“對應關系即運算關系”，“對應關系與函數圖像”等，并幫助學生判別哪些是正確的？哪些是有問題的？從不同的角度分析討論，從而在學生腦海中形成一個準確直觀的函數概念.

三、數學概念教學的延伸

學生學習了數學概念，接下來就要學會能正確運用數學概念去解決實際問題，學生在運用時常會遇到兩方面的困難：一是不知道該用哪種數學概念；二是用錯數學概念.

案例3：對于定義域為D的函數y=f（x），若同時滿足下列條件：①f（x）在D內單調遞增或單調遞減；②存在區間［a，b］?D，使f（x）在［a，b］上的值域為［a，b］，那么把y=f（x）（x∈D）叫閉函數.求閉函數y=-x3符合條件②的區間［a，b］.

很多學生在碰到一些新的概念或新的題型往往束手無策，不知道如何運用已經學過的知識來解決，比如上面提出的新概念：閉函數，學生不能很好地理解，覺得無從下手，其實只要抓住新概念定義的兩個條件：①（fx）在D內單調遞增或單調遞減，那么y=-x3在（-∞，+∞）上單調遞減，考查的是函數的單調性；②存在區間［a，b］?D，使（fx）在［a，b］上的值域為［a，b］，那么把y=（fx）（x∈D）叫閉函數，函數既然在實數域上是個減函數，要保證［a，b］上的值域為［a，b］，那么當x=a時，y=b，而當x=b時，y=a，根據這個關系列出方程，就能解出a，b的值，考查的是函數的值域問題，其實就是要學生回答：當x取何值時，函數能夠取到最大值和最小值，整個題目還是要求學生掌握函數的單調性、值域、最值等概念，只不過換了一種新的形式——閉函數來考查.

案例4：已知函數是奇函數，且，求函數（fx）的解析式.

學生在解答這道題時認為（fx）是奇函數，那么（f0）=0，從而得到q=0，雖然跟答案一致，但是這樣的解法是錯誤的，因為最后的函數解析式應為，即當x=0時，分母為0，（fx）無意義，正確的做法應是根據奇函數的概念，（f-x）=-（fx），列出，解出q=0，在根據，解出p=2，從而得到函數解析式，學生錯誤地利用了奇函數（f0）=0的概念，如果要利用這個條件，必須要滿足x=0時函數有意義才行，因此在運用數學概念解題時，一定要求學生注意分析概念應用是否有前提條件，有沒有符合該題目的具體情況.

數學概念教學是數學教學的重要組成部分，數學概念學得好不好，直接關系到學生數學能力的培養，在平常教學中，應努力把一個個數學概念講得淺顯易懂，分析透徹，那么學生在接下來的習題訓練中就能取得效果，如果學生對數學概念理解不深刻，那么做再多的題目也只是掌握表面，稍加變動，就不知如何解答了，因此，作為數學教師，應該重視數學概念的教學，使學生學好數學概念，更重要的是用好數學概念.

1.王尚志.數學教學研究與案例［M］.北京：高等教育出版社，2006.

2.陳令深.探索新課改下數學教學的新模式［J］.中學數學教育，2005.

3.趙榮夫.新課程理念下實現學生思維參與的途徑［J］.教育探索，2007.

4.中華人民共和國教育部制訂.普通高中數學課程標準［S］.北京：人民教育出版社，2003.