一道數學競賽題的解法探究

☉華中科技大學附屬中學 曾昀敏

一道數學競賽題的解法探究

☉華中科技大學附屬中學 曾昀敏

一題多解常常訓練學生的綜合能力，提高他們的數學思維水平，筆者結合2016年全國高中數學聯賽湖北省預賽試題第9題談談一題多解.

題目：已知MN是邊長為的等邊△ABC的外接圓的一條動弦，MN=4，P為△ABC的邊上的動點，則的最大值為_________.

方法一（基底法1）：以M為起點.，當且僅當也就是P與MN中點H重合時取到等號.

方法二（基底法2）：以△ABC外接圓的圓心O為起點.

圖1

方法三（坐標法1）：以△ABC為參照物，弦MN繞圓心運動.

所以，在△OMN中，OM⊥ON，以△ABC的外心為原點，以BC的中垂線為y軸，建立如圖2所示的平面直角坐標系，不妨設點P在BC邊上，則因為OM⊥ON，所以可設

圖2

方法四（坐標法2）：以弦MN為參照物，△ABC繞圓心運動.由正弦定理知

又MN=4，則在△OMN中，OM⊥ON.

圖3

以△ABC的外心為原點，以MN的中垂線為y軸，建立如圖3所示的平面直角坐標系.

當且僅當sinθ=-1且r=2，即P（0，-2）時，取到等號.

方法五（不等式法）

圖4

方法六（向量積化恒等式法）：設MN中點為H，則

當且僅當P，H重合時取到等號.因為圓心到△ABC邊長的距離，而圓心到MN距離為2，

所以P，H可以重合，即能取到最大值4.

該問題的本質：若兩個向量之和的模為定值，當且僅當這兩個向量相等時，數量積有最大值_______.

在該題的解法中，我們提出了基底法、坐標法、不等式法、向量積化恒等式法等六種解法，并指出該問題的本質為若兩個向量之和的模為定值，當且僅當這兩個向量相等時，數量積有最大值.由此，該問題還可以進一步抽象化.通過一題多解，鍛煉學生綜合運用各種知識的能力，達到事半功倍的效果.