例談轉化與化歸在解題中的運用

☉南京師范大學第二附屬高級中學 朱 斌

例談轉化與化歸在解題中的運用

☉南京師范大學第二附屬高級中學 朱 斌

等價轉化的思想方法是數學思想方法中的重要思想方法，但很多學生在解題過程中，缺乏等價轉化思想的應用，有時根本想不到用等價轉化的思想方法解題，因此，筆者結合自身的教學實踐，剖析如何在教學中靈活運用等價轉化思想解題，從而促進解題能力的提高.

一、領會題中條件意義是轉化與化歸的重要前提

一般來說，題目中所給條件含有豐富的內容，因此要引導學生認真讀題，仔細審題，依據所給的條件步步為營，穩扎穩打，不斷朝著目標轉化.

例1

圖1

對于這道題，學生入手很困難，如何正確認識題中條件，如何轉化條件是最大的障礙.可以引導學生從重心入手：如圖1所示，點M為△ABC的重心，則結合已知條件解出，代入已知等式，得，即但與為不共線的非零向量，所以即

二、數形結合是轉化與化歸中的重要方法

在方程與函數這類問題中，常常涉及方程解的問題、恒成立問題或函數交點等問題.若能根據題意，利用數形結合的思想，靈活轉化方程或函數，便可迅速、快捷地解決問題.

例2已知函數與a）圖像上存在關于y軸對稱的點，則a的取值范圍是________.

轉化1：由題意知，存在x0∈（-∞，0）滿足f（x0）=g（-x0），得

當a≤0時，當x趨近于a時，那a-x趨近于0時，h（x）=趨近于+∞，所以符合題意.

圖2

圖3

轉化2：由題意知，存在x0∈（-∞，0）滿足得那么，如圖3所示，分別作出的圖像，利用圖像數形結合可得得

數形結合是數學學習的一個重要特點，常常利用圖像來提供解題思路，根據數據的計算來精確問題的結果.

三、建立目標意識是轉化與化歸的主流思想

在高中數解題中，若從題目的條件中找不到突破口，那么，建立目標意識就是首要的解題思想.例如，針對近幾年的多變量問題，不少學生在面對此類問題時，感到無從入手，難以找到切入點.

例3已知常數a＞0，函數

（1）討論（fx）在區間（0，+∞）上的單調性；

（2）若（fx）存在兩個極值點x1，x2，且（fx1）+（fx2）＞0，求a的取值范圍.

解：此處僅對（2）進行分析：

因為x1，x2是f（′x）的零點，所以有

通過轉化將雙變量問題轉化為單一變量問題，題目自可迎刃而解.

四、換元思想有助于轉化與化歸的使用

有的題目常常通過換元，將題目轉化成比較容易解決的問題.

（1）求橢圓C的方程.

（ii）求△ABQ面積的最大值.

設P（2cosα，sinα），

則Q（4cos（α+π），2sin（α+π）），即Q（-4cosα，-2sinα），

（ii）設A（4cosθ，2sinθ），B（4cosφ，2sinφ），由橢圓的對稱性及直線AB與橢圓C有公共點，知線段AB的中點M（2cosθ+2cosφ，sinθ+sinφ），在橢圓C上或其內部，則，，整理得，從而

本題通過三角換元，將問題轉化為三角函數中的問題，大大簡化了求解過程，達到了事半功倍的效果.

例5已知橢圓的一個焦點為，離心率為

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若動點P（x0，y0）為橢圓外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.

（2）當切線的斜率存在且不為0時，設過P（x0，y0）點的切線為y-y0=k（x-x0），令則x=3X，y=2Y，于是橢圓轉化為圓X2+Y2=1，切線y-y0=k（x-x0）轉化為3kX-2Y-kx0+y0=0，由于伸縮變換后圓與直線仍是相切的，故圓心到直線的距離即

本題通過代數換元將橢圓問題轉化為圓的問題來解決，減少了運算量，降低了思維的難度，提高解題的正確率.

“解題就是把要解的題轉化為已經解過的題”.因此，任何數學問題的解決歸根結底都是將不熟悉的問題轉化為熟悉的問題，將繁難的問題轉化分解為簡單易行的問題.因此，在平時的教學中，我們應該不斷培養和訓練學生觀察知識間的縱橫關系，增加轉化的意識，注重等價轉化思想的滲透，不斷提高解題能力，提升數學素養.