例談直線與圓中的最值問題

☉江蘇省江陰市第二中學 張志剛

例談直線與圓中的最值問題

☉江蘇省江陰市第二中學 張志剛

直線與圓的位置關系是高中數學一個非常重要的內容，它涉及的知識點較多，題型也千變萬化.最值是數學知識體系中的重要內容，也是數學中最具挑戰性的問題.高考命題者對直線與圓知識中的最值問題常常是情有獨鐘，這種導向性使得該知識成為教學中的重點與難點.從問題解決的思路來看，學生要想順利地解決此類問題，需要綜合運用幾何與代數的相關知識與方法，以及數形結合等思想，并在此過程中尋找到解決最值問題的方法.本文通過教學實踐，枚舉幾例直線與圓中的最值問題，以供參考.

一、直線與圓相交構成的三角形面積最值

最值問題中有一類基本題型，就是一條直線與圓相交時所形成的兩個交點與圓心可以構成一個三角形，由于直線的動態性，所以該三角形的面積就存在一個最值.在教學中發現，學生在遇到此類問題時思維常常是混亂的.來看一個例子：

例1 平面直角坐標系中有點P（-3，4），圓C：（x+1）2+y2=4.過點P作直線l與圓相交于A，B兩點，求△ABC面積的最大值.

解法1：顯然直線l的斜率存在且不為零.設直線l的斜率為k，方程為kx-y+3k+4=0.

圖1

接下來求出此函數的最大值（此略）.

解法2：顯然直線l的斜率存在且不為零.設直線l的斜率為k，方程為y=k（x+3）+4.圓心C（-1，0）到直線l的距離

設A（x1，y1），B（x2，y2），則

接來下求出此函數的最大值（.以下略）

解法3：如圖1所示，當且僅當∠ACB=90°時取等號.

故△ABC面積的最大值為2.

比較三種方法，顯然第三種簡潔方便.

二、由切線構成的四邊形面積最值

例2 已知P是直線l：3x-4y+11=0上動點，PA，PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線，A，B為切點，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值為_______.

解：圓的標準方程（x-1）2+（y-1）2=1，圓心（1，1），r=1，如圖2.

圖2

故當|PC|最小值，SPACB最小.

分析：在計算中我們選擇已知的信息量大的，便于計算.

解法1：

當∠AOB=90°時，三角形面積最大.

這就轉化成了我們所熟悉的問題.

圖3

解法2：設直線l的傾斜角為α，

轉化與化歸思想是重要的數學思想.本題中將所求問題轉化成計算圓的弦長、弦心距，再利用點到直線的距離使問題迎刃而解，更好地提高學生的解題能力.

三、根據線性規劃思想求的最值問題

根據所求代數式結構，考查它的幾何意義，數形結合思想，以及線性規劃思想的體現.

例4 已知P（x，y）是圓（x+2）2+y2=1上任一點.

（2）求3x+4y的最值.

解：（1）如圖4，設A（1，2），則直線PA的斜率即kx-y-k+2=0.

問題轉化為直線與圓有公共點（相交或相切）時k的范圍，利用直線和圓的位置關系求解.

圖4

圖5

（2） 如 圖 5， 令 z=3x+4y， 即 3x+4y-z=0

問題轉化為直線與圓有公共點（相交或相切）時z的范圍，利用直線和圓的位置關系求解.

故3x+4y∈［-11，1］

例5 x，y滿足x+2y-5=0，求（x+1）2+（y+1）2的最小值.

解法1：設，d表示P（x，y）與Q（-1，-1）連線的距離.

圖6

解法2：令（x+1）2+（y+1）2=r2表示以Q（-1，-1）為圓心，r為半徑的圓，r2最小，即r最小，此時直線與圓相切

當然除了上述與幾何圖形結合，利用幾何性質及位置關系，求取最值方法外，還有一些代數方法，如函數法、重要不等式法等.

如例5中，x+2y-5=0，則x=5-2y，（x+1）2+（y+1）2=（6-2y）2+（y+1）2=5y2-22y+37

代換消元整理成一元二次函數，利用二次函數解決最值.

總之，應給學生思考空間，引導其思考，幫助其分析，指導其歸納總結，并在平時加強訓練，強化運用.

在直線與圓中，常考的最值問題有：圓外一定點與圓上一動點間的距離；直線與圓相離，圓上點到直線的距離；直線與圓相離，過直線上一點作圓的切線，切線長的計算；過圓內一點的弦長的范圍；兩圓相離，兩圓上動點間的距離.需要學生準確理解已知量、待求量的幾何意義，準確轉化為直線與圓的位置關系，涉及切線長的最值時，注意切線長、半徑、圓心與切線另一端點連線能構成直角三角形，涉及弦長時，半徑、弦心距、弦長一半，構成直角三角形；與圓有關問題，數形結合，特別關注圓的圓心、半徑，這兩個基本幾何屬性與其他點、線產生聯系.

四、結束語

高中數學解題能力的培養關鍵在于抓住問題的本質.數學解題講究入乎其內、出乎其外，學生需要從豐富的題境中尋找有效條件，體會題目的內涵與命題者所要考查的意圖.日常的習題教學中，教師要超越試題本身，要從方法的角度培養學生的解題能力，這樣學生才能清楚地看到題目的本質，從而對一類題型形成規律性認識.

同時，高中數學解題中，教師還需要重點進行基于學生可能思路的解題設計，學生在解題的過程中要獲得的不僅是解題能力，還要落實核心素養.尤其是學生與學生之間的交流，常常是學生解題思路得以提升的重要階梯，教師要善于通過學生的發言，總結出一些學生認知中的規律性認識，進而上升為清晰的解題思路，這樣學生在學習中往往可以更有成就感.