例談習(xí)題課的幾種教學(xué)方式

☉江蘇省南通中學(xué) 周福云

例談習(xí)題課的幾種教學(xué)方式

☉江蘇省南通中學(xué) 周福云

怎樣解題與上好習(xí)題課是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié).習(xí)題課既是教師對(duì)學(xué)生獨(dú)立思考活動(dòng)的指導(dǎo)過程，也是學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，加強(qiáng)基本技能、基本訓(xùn)練的必由之路，又是為實(shí)現(xiàn)教會(huì)學(xué)生怎樣解題而采用的一種教學(xué)方法.

但在習(xí)題課教學(xué)中，教師既要選擇典型例題講解示范，又要選擇習(xí)題供學(xué)生練習(xí)，然而課堂時(shí)間有限，因而確定習(xí)題課型與選擇習(xí)題是上好習(xí)題課的關(guān)鍵.本文結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)劻?xí)題課的幾種教學(xué)方法，求教于同行.

一、多題一類

在習(xí)題課的教學(xué)中，老師們經(jīng)常會(huì)將本節(jié)課的習(xí)題分類別，例如，同樣屬于三角函數(shù)題型的一起講評(píng)等.這種分類題組的方式受到大部分教師的歡迎，可以將知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來講解.例如，三角函數(shù)應(yīng)用題中，有一類問題以扇形內(nèi)接變動(dòng)多邊形設(shè)計(jì)問題為背景，研究方向同樣是研究?jī)?nèi)接多邊形在扇形內(nèi)變動(dòng)時(shí)的面積最值問題.求解方法都是設(shè)自變量為角α，由扇形的限制得出α的取值范圍，接著用三角函數(shù)表示面積，然后通過三角變換，把形如y=asinx+bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y=Asin（ωx+φ）的函數(shù)，從而使問題得到簡(jiǎn)化，使學(xué)生感受到以角為自變量的優(yōu)點(diǎn)，這個(gè)過程中蘊(yùn)涵了化歸思想，可以將這類題一起歸類講解.

圖1

（1）找出S與α之間的函數(shù)關(guān)系；

（2）由得出的函數(shù)關(guān)系，求S的最大值.

例2現(xiàn)有四分之一圓形的紙板（如圖2），∠AOB=90°，圓半徑為1，要裁剪成四邊形OAPB，且滿足AP//OB，∠OAB=30°，∠POA=θ，記此四邊形的面積為f（θ），求f（θ）的最大值.

圖2

圖3

例3如圖3所示，在直徑為BC的半圓中，A是弧BC上一點(diǎn)，正方形PQRS內(nèi)接于△ABC，若BC=a，∠ABC=θ，設(shè)△ABC的面積為S1，正方形PQRS的面積為S2.

（1）用a，θ表示S1和S2；

二、一題多變

受多題一解的啟發(fā)，我們反過來思考一題多變的問題.這里的“一題”即是“母題”，那么“母題”又是什么？母題不僅是高考題目的原型，還是具有多知識(shí)點(diǎn)的綜合題目，只要將“母題”全面掌握，那么通過“母題”衍生的題目就更加簡(jiǎn)單.簡(jiǎn)單而言，母題就是考試過程中所有題目的“根據(jù)”；“考題”指的就是在母題中衍生的題目.千變?nèi)f化的各類考題都不可能離開母題，母題是最能體現(xiàn)學(xué)科知識(shí)和解題技巧的題.

在進(jìn)行習(xí)題課課堂教學(xué)的時(shí)候，運(yùn)用“母題思想”，采用一題多變的教學(xué)方式，以一道母題進(jìn)行輻射、拓展，延伸到各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，能夠優(yōu)化方法、整合思維、融會(huì)貫通，達(dá)到解一題會(huì)一類的效果，從而使自己的知識(shí)能夠充分應(yīng)用到解題過程中，轉(zhuǎn)化學(xué)生數(shù)學(xué)的思想方式，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情和積極性.

例4 利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式ex＞1+x（x≠0）.（人教A版選修2-2教材第32頁習(xí)題B組第1大題第3小題）

分析：要想對(duì)不等進(jìn)行證明，主要方式就是作商或者作差，之后通過創(chuàng)建函數(shù)，通過最值實(shí)現(xiàn)不等式的證明.根據(jù)題目可以使用作差法.

證明：設(shè)f（x）=1+x-ex，x∈（-∞，+∞），則f′（x）=1-ex，令f′（x）＞0，得x＜0，令f′（x）＜0，得x＞0.所以f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減.所以當(dāng)x≠0時(shí)，（fx）＜（f0）=0，即1+x-ex＜0，所以ex＞x+1（x≠0）.

點(diǎn)評(píng)：雖然本題并不難，但是卻非常重要，在各種考試中經(jīng)常出現(xiàn)，其重要性可以和課本中重要的定理、定義、性質(zhì)及例題相提并論.

變式1求函數(shù)f（x）=1+x-ex的單調(diào)區(qū)間，并比較與e的大小.

分析：通過其題根，并且對(duì)其進(jìn)行賦值，就能夠得到證實(shí)的不等式.

解析：f（x）的定義域?yàn)椋?∞，+∞），f′（x）=1-ex，令f′（x）＞0，得x＜0，令f′（x）＜0，得x＞0.所以（fx）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）.當(dāng)x＞0時(shí)，（fx）＜（f0）=0，即1+x＜ex，令

本題主要對(duì)課本中的題根進(jìn)行了考查，表現(xiàn)了高考題目源于課本并且高于課本，也直接使用了課本中的題根.

變式2設(shè)a＞1，函數(shù)（fx）=（1+x2）ex-a.

（1）求（fx）的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：（fx）在（-∞，+∞）上僅有一個(gè)零點(diǎn)；

（3）若曲線y=（fx）在P處的切線平行于x軸，并且在M（m，n）點(diǎn)的切線和直線OP相互平行（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），證明：

分析：（1）能夠利用導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行研究（.2）能夠通過函數(shù)零點(diǎn)合理處理函數(shù)單調(diào)證明問題（.3）能夠通過函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)意義創(chuàng)建等式，根據(jù)需要正式的結(jié)論通過分析方法，在代換等式之后就能夠得到只需要證明的不等式，也就是題根.

解析：（1） 由于f（′x）=2xex+（1+x2）ex=（x+1）2ex，x∈R.因?yàn)閷?duì)任意x∈R，都有f（′x）≥0，所以（fx）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間.

（2）證明：由（1）知，（fx）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，且因?yàn)閍＞1，所以所以故ea-1-1＞0，故所以，使得（fx0）=0.

又因?yàn)椋╢x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，所以（fx）在（-∞，+∞）上僅有一個(gè)零點(diǎn).

（3）證明：f′（x）=（x+1）2ex，令f′（x）=0，解得x=-1，所以點(diǎn)，所以又因?yàn)椋╢x）在點(diǎn)M（m，n）處的切線與直線OP平行，所以f（′m）=kOP，即（m+1）而要證只需證

令h′（x）＞0，解得x＞0，令h（′x）＜0，解得x＜0.所以h（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增，所以h（x）≥h（0）=0，所以ex≥x+1，所以m+1≤em，所以1，結(jié)論得證.

本題將課本題根作為基礎(chǔ)試題的創(chuàng)建，對(duì)函數(shù)研究過程中導(dǎo)數(shù)的使用和分析進(jìn)行了考查.第（3）問比較隱秘，如果使用分析方法實(shí)現(xiàn)逆向思考就會(huì)使題目變得簡(jiǎn)單.

變式3設(shè)函數(shù)（fx）=ex-ax-1.

（1）若函數(shù)（fx）在R上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

（2）當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)函數(shù)（fx）的最小值為g（a），求證：g（a）≤0；

（3）求證：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有1n+1+2n+1+3n+1+…+nn+1＜（n+1）n+1.

分析：（1）通過等價(jià)轉(zhuǎn)化使其成為恒成立問題（.2）通過導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)最值進(jìn)行全面的研究（.3）通過題目能夠得到課本中的題根，并且對(duì)其進(jìn)行賦值，將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和.

解析：（1） 通過題意知，f′（x）=ex-a≥0對(duì)x∈R恒成立，且ex＞0，故a的取值范圍為a≤0.

（2）證明：由a＞0，及f（′x）=ex-a可得，函數(shù)（fx）在（-∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，故函數(shù)（fx）的最小值為g（a）=f（lna）=elna-alna-1=a-alna-1，則g′（a）=-lna，故當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，g（′a）＞0，當(dāng)a∈（1，+∞）時(shí)，g（′a）＜0，從而可知g（a）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，且g（1）=0，故g（a）≤0.

（3）證明：由（2）可知，當(dāng)a=1時(shí)，總有（fx）=ex-x-1≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.故當(dāng)x＞0時(shí)，總有ex＞x+1.于是可得（x+1）n+1＜（e）xn+1=e（n+1）x.

故對(duì)任意的正整數(shù)n，都有1n+1+2n+1+3n+1+…+nn+1＜（n+1）n+1.

點(diǎn)評(píng)：此題作為使用課本中題根效果最好的題目，結(jié)合數(shù)列知識(shí)，將知識(shí)交匯處的命題思路充分地體現(xiàn)了出現(xiàn)，并且得到了數(shù)列不等式.

三、一題多解

在進(jìn)行習(xí)題課教學(xué)的時(shí)候，同一個(gè)數(shù)學(xué)問題，經(jīng)常可以使用不同的方法和途徑來解決，即“母題思想”中的一題多解，這種習(xí)題課教學(xué)方式有利于透析各類概念的內(nèi)涵和外延，加深學(xué)生的理解，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性和創(chuàng)造性思維.多種解法分析比較，尋找解題的最佳途徑和方法能更好地鞏固知識(shí)，提高學(xué)生的解題能力.

圖4

解法1：如圖4，令P（x，y），

由橢圓的定義知，|PF1|+|PF2|=2a=10，

在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1·||PF2|cos60°.

因此△PF1F2面積為

圖5

解法2：如圖5，令|PF1|=m，|PF2|=n.

∴|F1F2|=2c=5.由橢圓的定義知，|PF1|+|PF2|=2a=10.

即m+n=10.

兩邊平方得m2+n2+2mn=100.①

在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1·||PF2|cos60°，

故m2+n2-mn=25.②

①-②，得3mn=75.∴mn=25.

因此△PF1F2面積為

解法3：令∠PF1F2=α，由解法2可知，m+n=10，|F1F2|=5.在△PF1F2中，由正弦定理知，

解得sin（α+30°）=1.又0°＜α＜120°，故α=60°.這樣△PF1F2為等邊三角形.

圖6

解法4：如圖6，令|PF1|=m，|PF2|=n，由橢圓的定義知，m+n=2a.兩邊平方得

m2+n2+2mn=4a2.①

在△PF1F2中，由余弦定理知，

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1·||PF2|cosα.

故m2+n2-2mncosα=4c2.②

因此△PF1F2面積為

葉瀾教授曾經(jīng)提到過：“課堂作為通向未知方向的途徑，在此過程中會(huì)發(fā)現(xiàn)意外通道及美麗，并不是都要通過循序固定路線，而缺少激情.”在進(jìn)行教學(xué)過程中，要為學(xué)生留一些自由思考的空間和實(shí)踐，教師不能夠知是根據(jù)自己設(shè)置的思路進(jìn)行教學(xué)，這樣會(huì)對(duì)學(xué)生的思維造成限制，使學(xué)生的思維強(qiáng)制扭轉(zhuǎn)，在剛出現(xiàn)題目的時(shí)候就對(duì)學(xué)生進(jìn)行提示和分析，這樣只會(huì)將學(xué)生自主思維能力扼殺在搖籃中，對(duì)學(xué)生自由創(chuàng)造空間進(jìn)行剝奪，在學(xué)生還無法思考的時(shí)候，教師使用自己的思路對(duì)學(xué)生的大腦進(jìn)行限制，使學(xué)生服從自己的模式，嚴(yán)重阻礙了學(xué)生思維能力的培養(yǎng).

在中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)中，若能引導(dǎo)學(xué)生充分觀察習(xí)題特征，挖掘解題規(guī)律，研究各類題型，將其歸為多題一解或一題多解的類型去分析，就可以掌握命題根本，拓寬解題思路，多方位、多角度地把知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系，搭建知識(shí)框架，厘清知識(shí)脈絡(luò)，從而幫助學(xué)生極大地提高解題的效率及準(zhǔn)確率.這樣一來，習(xí)題課教學(xué)的有效性才能得到凸顯.