加強數學解題中“數”的研究，提高學生的核心素養

☉江蘇省金湖中學 陳萬斌

加強數學解題中“數”的研究，提高學生的核心素養

☉江蘇省金湖中學 陳萬斌

“數”是數學的基礎和核心，是數學中最基本、最重要的呈現方式，可以說沒有“數”就沒有數學.學生對“數”的認識是最基本的數學素養，這就需要我們在教學或解題指導中加強對“數”的本質及特征性研究，加強“數”在具體習題中的實際用意和數學含義的思考.針對性對“數”進行專題探討，提高學生靈活思維能力和分析問題、解決問題的實踐能力，通過對“數”的研討，不斷提高學生的數學核心素養.下面從幾個例題來加以說明.

一、“系數”在圓錐曲線中的運用，培養學生的直觀想象素養

例1已知（x0，y0）是橢圓上一點，A（1，1），點F為其右焦點，求（|PA|+2|PF|）min.

解析：抓住數字“2”的實際含義和用法.設過點P作右準線的垂線，垂足為N.

故（|PA|+2|PF|）min=（|PA|+|PN|）min=|AN|=4-1=3.

評論：抓住數字“2”的實際含義和用法，聯想離心率直接轉化.

二、“變數”在不等式中的運用，培養學生的數學抽象素養

例2定義R上的函數（fx）是奇函數，當x≥0時，（fx）=x2對任意x∈［t，t+2］，不等式（fx+1）≥2（fx）恒成立，求實數t的范圍.

解析：解題在于試題中“2（fx）”中數字“2”變到“自變量中”去.由（fx）是奇函數知，故2（fx）=又（fx）是R上增函數，原不等式：當x∈［t，t+2］時恒成立，即當恒成立，即

評論：解題在于試題中“2（fx）”中數字“2”變到“自變量中”去，培養學生對函數抽象化的理解.

三、“拆數”在三角函數中的運用，培養學生的數學運算素養

例3已知sin（3α+β）=2sin（α+β），求的值.

解析：比較已知與結論，抓住“3”和“1”處理：3=2+1，1=2-1.

因為3α+β=（2α+β）+α，α+β=（2α+β）-α，

則由已知得sin［（2α+β）+α］=2sin［（2α+β）-α］，

即sin（2α+β）cosα+cos（2α+β）sinα=2［sin（2α+β）cosα-cos（2α+β）sinα］，

于是sin（2α+β）cosα=3cos（2α+β）sinα，故

評論：培養學生善于觀察“數”，把握運算技巧.

四、“常數”在函數單調性中的運用，培養學生的邏輯推理素養

例4已知定義域為（0，+∞）的單調函數（fx），若對任意x∈（0，+∞），都有則方程（fx）=2+的解的個數是（ ）.

（A）3 （B）2 （C）1 （D）0

解析：抓住關鍵詞，充分理解題目的本質.本題關鍵詞是“單調”，函數f（x）在（0，+∞）上是單調的，再由知，（fx）+log1x只能是一個“常數”.

2

則log2m+m=3，

故m=2.

故（fx）=log2x+2.

所以x1=4或x2=16共兩解.

評論：抓住關鍵詞充分理解題目的本質，進行邏輯推理.

五、“湊數”在函數最值中的運用，培養學生的數學建模素養

例5已知求（fx）的最大值和最小值之和.

解析：分析已知函數特點，進行變化.

maxmin

評論：由常見結論是奇函數，故配數可解題.分析已知函數特點，建立新的函數模型.

六、“消數”在圓中的運用，培養學生的數據分析素養

例6已知點M在圓C：（x-4）2+（y-4）2=8上運動，A（6，-1），O為原點，求數S=（|MO|+2|MA|）min

解析：本題的難處在于式子“|MO|+2|MA|”中的數字“2”如何“消去”.設M（x0，y0），則（x0-4）2+（y0-4）2=8，

設點B（3，3），則S=2（|MB|+|MA|），

評論：本題的難點在于“|MO|+2|MA|”中的數字“2”如何“消去”，要善于捕捉數據的特點并進行分析和轉化.

七、“巧數”在數列中的運算，培養學生對“數”的深層理解

例7已知｛an｝成等比數列，an＞0，a1a5=64，S5-S3=48.

（1）求an；

（2）對于正整數k，m，（lk＜m＜l），求證：m=k+1且l=k+3是5ak，am，al這三項適當排序后能構成等差數列成立的充要條件.

解析：（1）可知an=2n.

（2）證明可知｛an｝中任何不同三項不可能成等差數列（證明略），由數字“5”進行變化，抓住“5”這個“巧數”進行奇偶性推論.

①由2am=5ak+al，則則不成立；

②2a1=5ak+am，同理可得不成立；

③2ak=am+al，得5=2m-k-1+2l-k-1，

評論：對數字“5”的奇偶性及相關式子進行深層次分析.

要活化學生的數學素養，正如在水中才能學會游泳一樣，唯有教師引導學生參與課堂，日積月累，才能是顯性的思維活動內化為隱形的數學素養，而加強對“數”的特點進行研究，本身培養學生的數學核心素養的一個重要方式、具體手段，教師要在平時教學過程中不斷引導學生在數學學習中注意回歸到本身、本質，注意回歸數學的基礎、源頭，學生就能更好理解數學的本來面目，更能靈活地分析問題，更能培養學生分析解題能力，更能提高學生的解題能力，進而達到適應試題變化、思考方向的轉化要求最大化，達到方法和思維的最優化，達到數學素養提升的最快化.