巧用幾何性質，優化平面向量計算

☉湖南省衡陽市一中 譚祖榮

巧用幾何性質，優化平面向量計算

☉湖南省衡陽市一中 譚祖榮

通常我們把平面向量的運算分為幾何運算和代數運算（坐標運算），其難點在幾何運算上，靈活應用圖形的幾何特點與性質，往往是解決問題的關鍵.

一、在三角形中靈活應用“四線，四心”

例1 已知△ABC中，點D在AB上，CD平分∠ACB.若（ ）.

分析：本題是2010年全國卷Ⅱ理數中的試題，主要考查向量的基本運算，考查角平分線定理.

解：因為CD平分∠ACB，由角平分線定理得，所以D為AB的三等分點，且所以故選B.

A.重心 B.外心

C.內心 D.垂心

分析：本題考查了平面向量的加減運算、向量的共線及點的軌跡.

解：如圖1，由分別表示上的單位向量，從而

圖1

又四邊形ADFE為菱形，于是AF平分∠BAC.

A.重心 B.外心

C.內心 D.垂心

分析：本題考查了平面向量的加減運算、向量的共線及點的軌跡.

解：如圖2，由AD為BC邊上的高，于是

圖2

A.重心 B.外心

C.內心 D.垂心

分析：本題考查了平面向量的加減運算、向量的共線及點的軌跡.

解：由

例5在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，重心為G，若a則∠A=________.

分析：本題考查了三角形的重心的性質、平面向量的加減運算及共線向量定理.

解法1：由G是三角形ABC的重心知

解法2：由G是三角形ABC的重心知令于是

二、利用向量的模的幾何意義構建幾何圖形

例6 已知平面向量α，β（α≠0，α≠β）滿足|β|=1，且α與β-α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是__________.

分析：本題是2010年浙江理數中的試題，主要考查了平面向量的四則運算及其幾何意義，突出考查了對問題的轉化能力和數形結合的能力，把題設條件表示在三角形中，即可迎刃而解.

圖3

圖4

分析：本題是2011年全國大綱卷理數中的試題，考查平面向量的知識，與2010年浙江理數試題相同，更突出考查了對問題的轉化能力和數形結合的能力，利用題設條件及其幾何意義把問題轉化到三角形的外接圓中，應用幾何方法求最值.

通過以上幾個示例啟示我們：在向量的幾何運算及與模有關問題中，通過轉化與化歸，靈活應用圖形的幾何特點與性質可讓問題迎刃而解.