九層之臺 起于累土

包衛民??

摘 要：本文就從一道高考題的多種解法入手，告訴同學們要學好高中數學必須重基礎，重通法。

關鍵詞：正弦定理；余弦定理；面積

很多的同學在學習高中數學時，一方面盲目地搞題海戰術，學習停留在淺層次上；另一方面刻意地鉆難題、怪題，忽略對通性通法的深刻理解。本文就從一道高考題為例，來說明只要雙基抓好了，可以從不同的角度進行分析，從不同的角度入手解題。

例 （15年浙江高考題）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知A=π4，b2-a2=12c2.

（1） 求tanC的值； （2）若△ABC的面積為7，求b的值。

第一問（解法1）：分析：由題設中“b2-a2=12c2”的特征可猜測與余弦定理有關系，使用a2=b2+c2-2bccosA進行求解。

解：∵b2-a2=12c2，

∴b2-a2=-c2+2bccosA=12c2。

化簡可得22b=3c，可令b=3k，則c=22k，a=5k；

代入到cosC=a2+b2-c22ab中，可解得cosC=55，于是tanC=2。

第一問（解法2）：分析：由題設中b2-a2=12c2為齊次式，與A=π4可聯想正弦定理，將b2-a2=12c2化為關于角C的等式，再進行求解。

解：用正弦定理可將b2-a2=12c2化為sin2B-sin2A=12sin2C

∵A=π4，∴sin2C+π4-12=12sin2C。

展開可化簡得tanC=2

第一問（解法3）：分析：同解法2，只是中間的計算過程可從二倍角入手。

解：用正弦定理可將b2-a2=12c2化為sin2B-sin2A=12sin2C

∵A=π4，∴sin2B-12=12sin2C，

∴2sin2B-1=sin2C，于是-cos2B=sin2C，

∴-cos3π2-2C=sin2C，展開可化簡得tanC=2。

第二問（解法1）：分析：由第一問知tanC=2，再利用已知A=π4，可求角B的正弦和余弦；再由A=π4，角B，S△ABC=7可分別利用正弦定理和三角形面積公式分別得到bc的比值和bc的值，再聯立可求出b。

解：由tanC=2有sinC=255，cosC=55，

∵A=π4，∴sinB=sinπ4+C展開可解得sinB=31010。

由正弦定理sinBsinC=bc可得bc=324（1），

又由S△ABC=12bcsinπ4=7可解得bc=142（2），

聯立（1），（2）可解得b=21。

第二問（解法2）：分析：由第一問知tanC=2，再利用已知A=π4，可求角B的正弦；再利用S△ABC的面積公式，可求得△ABC的外接圓半徑2R，由b=2RsinB就可求出b。解：由tanC=2有sinC=255，cosC=55，

∵A=π4，

∴sinB=sinπ4+C展開可解得sinB=31010。

又由S△ABC=12bcsinπ4=122RsinB2RsinCsinπ4=7可解得2R=2103，

∴b=2RsinB=21。

第二問（解法3）：分析：過B點作AC邊上的高BD交AC于點D，利用∠A=π4，tanC=2，令BD=x，有AD=x，CD=x2，從而AC=3x2，再由S△ABC=12AC·BD=7可求出x，于是b可求。

解：如右圖，過B點作AC邊上的高BD交AC于點D，∵∠A=π4，tanC=2，令BD=x，有AD=x，CD=12x，

∴S△ABC=12·32x·x=7，可解得x=2213，于是b=32x=21。

小結

以上兩問分別都用了三種方法求解，每一種方法都很常規，屬于基本的解題方法，通過此文，只想告訴同學們，在我們學習數學的過程中，切忌盲目地搞題海戰術，切忌一味地鉆難題、怪題；我們應該立足于基礎，研究解法；不能只追求數量，不講究質量；不能只追求難度，而忽視了根本。

作者簡介：包衛民，云南省紅河哈尼族彝族自治州，云南省蒙自縣第一高級中學。endprint