曲線系過定點問題解法研究

摘 要：平面解析幾何經常會碰到判定或證明平面曲線系過定點的問題。本文從含有一個或兩個參數的曲線系來談過定點問題的解法。

關鍵詞：過定點；參數曲線系；幾何

平面解析幾何定值問題中，經常會碰到一類判定或證明平面曲線系過定點的問題。本文試從含有一個或兩個參數的曲線系來談過定點問題的解法。

一、 含有一個參數的曲線系

（一） 賦值法

若已知含參數方程為直線方程，我們可以取參數的兩個特殊值可得兩條直線的方程，求出它們的交點。例如：無論m取何實值，（3m+4）x+（2m-3）y=1所表示的直線恒過一定點，求定點坐標。令m=0，得4x-3y=1；m=1，得7x-y=1，求得交點坐標217，-317，即定點。此法具有普適性，但是需驗證交點坐標也適合直線方程。

（二） 數形結合思想

若已知含參方程為曲線方程，我們可以將參數方程化為所學過的圓的方程或者圓錐曲線方程形式來解決問題。

例如：設函數f（x，y）=x2+4（m-2）+y2-8my+645=0，求定點坐標。

[x+2（m-2）]2+（y-4m）2=[25（m-25）]2

即m=25時得過定點（165，85）。

（三） 分離系數法

若已知方程是含有參數m的方程，我們可以把系數中的m分離出來，化為mF（x，y）+G（x，y）=0的形式，由F（x，y）=0且G（x，y）=0解出x和y的值，即得定點坐標。

二、 含有兩個參數的曲線系

對于過定點的雙參數曲線系的問題，若已知方程是含有參數m、n的方程，且可以化為mF（x，y）+nH（x，y）=G（x，y）的形式，那么仍可以利用上述分離系數方法解決，即F（x，y）= H（x，y）= G（x，y）=0。在學習中發現若已知方程是含有參數m，n的方程，化成mF（x，y）+nH（x，y）= G（x，y）形式，且m，n滿足線性約束條件αm+βn=y，則借助直線與方程系數對應相等或成比例解法較快捷。

當曲線過定點A（x0，y0），則可得

mF（x0，y0）+nH（x0，y0）=G（x0，y0）

αm+βn=y

當曲線過A點時，關于m，n的直線方程應有無窮各個解，或兩直線重合。

則：

F（x0，y0）α=H（x0，y0）β=G（x0，y0）y ①

解上述方程

①若無解，則曲線過不定點。

②若有一解，則曲線過一個定點。

③若有n解，則曲線過n個定點（n∈N*）

[注]：當α，β或y任意一個為0時，如y=0，αβ≠0

則，αm+βn=0，n=-αmβ，mF（x0，y0）-αmβH（x0，y0）=G（x0，y），故

mF（x0，y0）-αβH（x0，y0）=G（x0，y），

F（x0，y0）α=H（x0，y0）βG（x0，y0）=0

當α=β=y則認為①中公式可轉化為下式：

F（x0，y0）=H（x0，y0）=G（x0，y0） ②

下面按我們通過幾道例題來明確這種方法。

例1 若兩參數m，n滿足式子3m+5n=3，直線y=-mx+15n（n≠0），試問直線是否必過一點A（x0，y0），若過A點，請求出A點坐標。若不過，請說明理由。

解：直線轉換得mx+ny=15

mx0+my0=15

3m+5n=3

根據上述方法，重合，得：

x03=y05=153

解得x0=15y0=25

直線必過A（15，25）

解題心得：此題原式稍加轉化，即可成為上述方法中。

例2 若滿足4km- 3kn = 144（k≠0），則直線mx-ny=3，過一定點B（x0，y0），求x0，y0的值。

解：4km-3kn=144

m3-n4=12k

根據上述方法，得

x013=y014=312k

解得x0=k12y0=k16

通過上述例題，我們了解到利用直線與方程系數對應或比例來解決這類過定點的雙參數曲線系問題，簡化了計算量，讓我們在解題速度有一個的提升。

參考文獻：

[1] 崔寶法.巧用分離參數法解曲線系過定點問題[J].數學教學通訊，2006.

[2] 李國民.用二次曲線系快速解決一類定點定值問題[J].數學通訊，2014（9）.

作者簡介：蔣逸飛，湖北省武漢市，華中科技大學附屬中學。endprint