曲線系過(guò)定點(diǎn)問題解法研究

摘 要：平面解析幾何經(jīng)常會(huì)碰到判定或證明平面曲線系過(guò)定點(diǎn)的問題。本文從含有一個(gè)或兩個(gè)參數(shù)的曲線系來(lái)談過(guò)定點(diǎn)問題的解法。

關(guān)鍵詞：過(guò)定點(diǎn)；參數(shù)曲線系；幾何

平面解析幾何定值問題中，經(jīng)常會(huì)碰到一類判定或證明平面曲線系過(guò)定點(diǎn)的問題。本文試從含有一個(gè)或兩個(gè)參數(shù)的曲線系來(lái)談過(guò)定點(diǎn)問題的解法。

一、 含有一個(gè)參數(shù)的曲線系

（一） 賦值法

若已知含參數(shù)方程為直線方程，我們可以取參數(shù)的兩個(gè)特殊值可得兩條直線的方程，求出它們的交點(diǎn)。例如：無(wú)論m取何實(shí)值，（3m+4）x+（2m-3）y=1所表示的直線恒過(guò)一定點(diǎn)，求定點(diǎn)坐標(biāo)。令m=0，得4x-3y=1；m=1，得7x-y=1，求得交點(diǎn)坐標(biāo)217，-317，即定點(diǎn)。此法具有普適性，但是需驗(yàn)證交點(diǎn)坐標(biāo)也適合直線方程。

（二） 數(shù)形結(jié)合思想

若已知含參方程為曲線方程，我們可以將參數(shù)方程化為所學(xué)過(guò)的圓的方程或者圓錐曲線方程形式來(lái)解決問題。

例如：設(shè)函數(shù)f（x，y）=x2+4（m-2）+y2-8my+645=0，求定點(diǎn)坐標(biāo)。

[x+2（m-2）]2+（y-4m）2=[25（m-25）]2

即m=25時(shí)得過(guò)定點(diǎn)（165，85）。

（三） 分離系數(shù)法

若已知方程是含有參數(shù)m的方程，我們可以把系數(shù)中的m分離出來(lái)，化為mF（x，y）+G（x，y）=0的形式，由F（x，y）=0且G（x，y）=0解出x和y的值，即得定點(diǎn)坐標(biāo)。

二、 含有兩個(gè)參數(shù)的曲線系

對(duì)于過(guò)定點(diǎn)的雙參數(shù)曲線系的問題，若已知方程是含有參數(shù)m、n的方程，且可以化為mF（x，y）+nH（x，y）=G（x，y）的形式，那么仍可以利用上述分離系數(shù)方法解決，即F（x，y）= H（x，y）= G（x，y）=0。在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)若已知方程是含有參數(shù)m，n的方程，化成mF（x，y）+nH（x，y）= G（x，y）形式，且m，n滿足線性約束條件αm+βn=y，則借助直線與方程系數(shù)對(duì)應(yīng)相等或成比例解法較快捷。

當(dāng)曲線過(guò)定點(diǎn)A（x0，y0），則可得

mF（x0，y0）+nH（x0，y0）=G（x0，y0）

αm+βn=y

當(dāng)曲線過(guò)A點(diǎn)時(shí)，關(guān)于m，n的直線方程應(yīng)有無(wú)窮各個(gè)解，或兩直線重合。

則：

F（x0，y0）α=H（x0，y0）β=G（x0，y0）y ①

解上述方程

①若無(wú)解，則曲線過(guò)不定點(diǎn)。

②若有一解，則曲線過(guò)一個(gè)定點(diǎn)。

③若有n解，則曲線過(guò)n個(gè)定點(diǎn)（n∈N*）

[注]：當(dāng)α，β或y任意一個(gè)為0時(shí)，如y=0，αβ≠0

則，αm+βn=0，n=-αmβ，mF（x0，y0）-αmβH（x0，y0）=G（x0，y），故

mF（x0，y0）-αβH（x0，y0）=G（x0，y），

F（x0，y0）α=H（x0，y0）βG（x0，y0）=0

當(dāng)α=β=y則認(rèn)為①中公式可轉(zhuǎn)化為下式：

F（x0，y0）=H（x0，y0）=G（x0，y0） ②

下面按我們通過(guò)幾道例題來(lái)明確這種方法。

例1 若兩參數(shù)m，n滿足式子3m+5n=3，直線y=-mx+15n（n≠0），試問直線是否必過(guò)一點(diǎn)A（x0，y0），若過(guò)A點(diǎn)，請(qǐng)求出A點(diǎn)坐標(biāo)。若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：直線轉(zhuǎn)換得mx+ny=15

mx0+my0=15

3m+5n=3

根據(jù)上述方法，重合，得：

x03=y05=153

解得x0=15y0=25

直線必過(guò)A（15，25）

解題心得：此題原式稍加轉(zhuǎn)化，即可成為上述方法中。

例2 若滿足4km- 3kn = 144（k≠0），則直線mx-ny=3，過(guò)一定點(diǎn)B（x0，y0），求x0，y0的值。

解：4km-3kn=144

m3-n4=12k

根據(jù)上述方法，得

x013=y014=312k

解得x0=k12y0=k16

通過(guò)上述例題，我們了解到利用直線與方程系數(shù)對(duì)應(yīng)或比例來(lái)解決這類過(guò)定點(diǎn)的雙參數(shù)曲線系問題，簡(jiǎn)化了計(jì)算量，讓我們?cè)诮忸}速度有一個(gè)的提升。

參考文獻(xiàn)：

[1] 崔寶法.巧用分離參數(shù)法解曲線系過(guò)定點(diǎn)問題[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2006.

[2] 李國(guó)民.用二次曲線系快速解決一類定點(diǎn)定值問題[J].數(shù)學(xué)通訊，2014（9）.

作者簡(jiǎn)介：蔣逸飛，湖北省武漢市，華中科技大學(xué)附屬中學(xué)。endprint