曲線系過定點問題解法研究

摘 要：平面解析幾何經(jīng)常會碰到判定或證明平面曲線系過定點的問題。本文從含有一個或兩個參數(shù)的曲線系來談過定點問題的解法。

關(guān)鍵詞：過定點；參數(shù)曲線系；幾何

平面解析幾何定值問題中，經(jīng)常會碰到一類判定或證明平面曲線系過定點的問題。本文試從含有一個或兩個參數(shù)的曲線系來談過定點問題的解法。

一、 含有一個參數(shù)的曲線系

（一） 賦值法

若已知含參數(shù)方程為直線方程，我們可以取參數(shù)的兩個特殊值可得兩條直線的方程，求出它們的交點。例如：無論m取何實值，（3m+4）x+（2m-3）y=1所表示的直線恒過一定點，求定點坐標。令m=0，得4x-3y=1；m=1，得7x-y=1，求得交點坐標217，-317，即定點。此法具有普適性，但是需驗證交點坐標也適合直線方程。

（二） 數(shù)形結(jié)合思想

若已知含參方程為曲線方程，我們可以將參數(shù)方程化為所學過的圓的方程或者圓錐曲線方程形式來解決問題。

例如：設(shè)函數(shù)f（x，y）=x2+4（m-2）+y2-8my+645=0，求定點坐標。

[x+2（m-2）]2+（y-4m）2=[25（m-25）]2

即m=25時得過定點（165，85）。

（三） 分離系數(shù)法

若已知方程是含有參數(shù)m的方程，我們可以把系數(shù)中的m分離出來，化為mF（x，y）+G（x，y）=0的形式，由F（x，y）=0且G（x，y）=0解出x和y的值，即得定點坐標。

二、 含有兩個參數(shù)的曲線系

對于過定點的雙參數(shù)曲線系的問題，若已知方程是含有參數(shù)m、n的方程，且可以化為mF（x，y）+nH（x，y）=G（x，y）的形式，那么仍可以利用上述分離系數(shù)方法解決，即F（x，y）= H（x，y）= G（x，y）=0。在學習中發(fā)現(xiàn)若已知方程是含有參數(shù)m，n的方程，化成mF（x，y）+nH（x，y）= G（x，y）形式，且m，n滿足線性約束條件αm+βn=y，則借助直線與方程系數(shù)對應(yīng)相等或成比例解法較快捷。

當曲線過定點A（x0，y0），則可得

mF（x0，y0）+nH（x0，y0）=G（x0，y0）

αm+βn=y

當曲線過A點時，關(guān)于m，n的直線方程應(yīng)有無窮各個解，或兩直線重合。

則：

F（x0，y0）α=H（x0，y0）β=G（x0，y0）y ①

解上述方程

①若無解，則曲線過不定點。

②若有一解，則曲線過一個定點。

③若有n解，則曲線過n個定點（n∈N*）

[注]：當α，β或y任意一個為0時，如y=0，αβ≠0

則，αm+βn=0，n=-αmβ，mF（x0，y0）-αmβH（x0，y0）=G（x0，y），故

mF（x0，y0）-αβH（x0，y0）=G（x0，y），

F（x0，y0）α=H（x0，y0）βG（x0，y0）=0

當α=β=y則認為①中公式可轉(zhuǎn)化為下式：

F（x0，y0）=H（x0，y0）=G（x0，y0） ②

下面按我們通過幾道例題來明確這種方法。

例1 若兩參數(shù)m，n滿足式子3m+5n=3，直線y=-mx+15n（n≠0），試問直線是否必過一點A（x0，y0），若過A點，請求出A點坐標。若不過，請說明理由。

解：直線轉(zhuǎn)換得mx+ny=15

mx0+my0=15

3m+5n=3

根據(jù)上述方法，重合，得：

x03=y05=153

解得x0=15y0=25

直線必過A（15，25）

解題心得：此題原式稍加轉(zhuǎn)化，即可成為上述方法中。

例2 若滿足4km- 3kn = 144（k≠0），則直線mx-ny=3，過一定點B（x0，y0），求x0，y0的值。

解：4km-3kn=144

m3-n4=12k

根據(jù)上述方法，得

x013=y014=312k

解得x0=k12y0=k16

通過上述例題，我們了解到利用直線與方程系數(shù)對應(yīng)或比例來解決這類過定點的雙參數(shù)曲線系問題，簡化了計算量，讓我們在解題速度有一個的提升。

參考文獻：

[1] 崔寶法.巧用分離參數(shù)法解曲線系過定點問題[J].數(shù)學教學通訊，2006.

[2] 李國民.用二次曲線系快速解決一類定點定值問題[J].數(shù)學通訊，2014（9）.

作者簡介：蔣逸飛，湖北省武漢市，華中科技大學附屬中學。endprint