談學生在解決數學題目時常見的幾點問題

摘 要：“問題是數學的心臟”，當代美國數學家哈爾莫斯說。問題的解決不僅為我們提供了一個展示思維的平臺，而且給了我們一個創新的機會。為了有效地培養我們分析問題與解決問題的能力，結合本人在平時解題中的一點理解，談談我們在解決數學題目時常見的幾點問題。

關鍵詞：解題；缺失；問題

一、 數學概念理解的缺失

數學命題是有概念組成的邏輯系統。概念是基礎，其中每一個術語、符號和習慣用語都要一定的含義，它們反映到題目中去，就要求學生在解題時徹底理解概念之間的內在聯系。

例：函數f（x）=lnx-1的零點是（ ）

A. e B. 1

C. （e，0）D. （1，0）

這是安徽省2009年學業水平測試試卷上的一道選擇題。主要考查的是函數零點的概念，本來是一道比較容易的題目，但就是因為我們的概念不清，沒有真正的理解函數零點的定義，不知道函數的零點到底是一個數還是一個點，造成了有相當一部分同學在此題丟分。這就充分反映了我們對概念缺乏理解。

再如：在立體幾何中，我們錯誤地認為：若a∥α，bα則a∥b；在向量的學習中容易出現：若a·b=0則a=0或b=0的錯誤現象，等等現象。主要原因是我們對概念僅僅是機械的記憶，在認知結構中，概念的掌握只是些“孤立的點”，而不是“面”，最終影響了解題。

二、 題目中的信息丟失

解決問題之前有效地提取題目中的信息是一個重要的初始環節，但是我們在提取題目中的信息時，注意力往往只關注那些“重要”的信息上，那些“不明顯”的信息容易被冷落，從而導致解題錯誤，我們經常會出現這樣的低級錯誤。

例：一元二次不等式：ax2-2ax+3a-1≤0在x∈[1，2）上恒成立，求a的取值范圍。

本題考查的是一元二次函數、一元二次不等式及一元二次方程的知識，在解題時我們可以利用二次函數圖像的性質，結合函數的對稱軸的位置及其函數在區間[1，2）上的單調性，很容易得出題目的答案；也可以根據恒成立題目的一般性解法，先解出參量a，然后再討論對應函數在區間[1，2）上的最值，得出a恒大于等于函數的最大值或恒小于等于函數的最小值即可。但是，實踐證明我們不論利用哪一種方法解題，都常常會把答案寫成：a≤13，而沒有把a=0舍去，造成這樣的結果的原因很簡單，就是沒有“重視”題目中的“一元二次不等式”這一“不顯著”的條件。

三、 數學運算能力的弱化

運算是解題的一項最基本的技能。它要求我們會根據法則、公式正確地進行運算；能根據題目的條件尋求合理的運算途徑。高考中，多半的題目不僅需要運算出結果，而且有些題目還要證明，寫出嚴格的步驟。如果在解題中出現了運算問題的話，會導致滿盤皆輸的。

例：已知向量a≠e，|e|=1，t∈R恒有|a-te|≥|a-e|則有（ ）

A. a⊥e

B. a⊥（a-e）

C. e⊥（a-e）

D. （a+e）⊥（a-e）

本題考查的是向量的基本運算，向量的幾何意義，解題的方法很多。從答案入手的話，四個選項中都有垂直的判斷，要使兩個向量垂直，就得有數量積為零的條件存在，于是想到了不等式兩邊取平方，然后化簡、整理，最終得出結論。可想而知運算量是比較大，而且在解題的過程中也存在很多的運算技巧問題。我們不妨換個思路解題，可以從向量的幾何意義入手，它其實是點到直線垂直距離|a-e|最短的問題。

四、 推理、論證能力較弱

問題解決的過程總是伴隨著邏輯推理等思維運算，而推理論證能力較弱的同學，則表現為對綜合性較強的題目束手無策，導致解題失敗。這就需要我們平時對概念、定理、定義以及常用的解題方法牢記于心，甚至對常見的結論也應有所掌握。

例：設數列{an}的前n項和為sn，已知a1=5，an+1=sn+3n，n∈N+，若an+1≥an，求a的范圍。

本題考查的是數列知識，題中給出的數列的遞推關系式很明顯是屬于構造型遞推式，可以先通過第n項an與前n項sn和的關系得出：sn+1=2sn+3n，然后設sn+1+c3n+1=2（sn+c3n），再展開和條件比較，可得出c=-1，即構造出數列{sn-3n}是以s1-3=2為首項，以2為公比的等比數列，于是可以通過先求sn的表達式，再根據第n項an與前n項和sn的關系得出數列的通項公式。但是如果我們在推理方面能力較弱的話，面對這樣的題目就沒辦法了。另外有些同學在做此類題目時常常會通過關系式寫幾項，然后去猜想數列的通項公式，也不去證明，從而失去了數列題目的大部分分數。

五、 識圖、作圖的技能不強

在識圖、作圖方面要求我們能根據題目的條件識別或畫出對應的圖形，能將較復雜的圖形分解成若干個簡單的圖形。在簡單圖形中能正確地確定出各元素的位置及相應的關系。

例：已知動圓p與定圓c：（x+2）2+y2=1向外切，又與定直線L：x=1相切，求動圓圓心p的軌跡方程。

本題考查的是求點的軌跡問題，結合題目給出的圖形，我們很容易列出滿足條件的關于動圓圓心p的方程：設p（x，y），根據條件得出：（x+2）2+y2-1=|x-1|，然后化簡、整理得出最終的結果，很明顯過程很復雜，我們如果仔細觀察圖形，結合題意會發現p點只能在直線x=1的左側，進而方程可以改寫成：（x+2）2+y2-1=x-1，這樣化簡起來就比較容易的多。當然如果學生再仔細思考一下可以發現，點p到定圓圓心（-2，0）的距離等于到定直線x=2的距離，則動點p的軌跡是以（-2，0）點為焦點，以x=2為準線的拋物線，方程是：y2=-8x。可見如果學生有較強的作圖，識圖能力的話，在解這方面的題目是就大大地簡化了解題步驟，化繁為簡。（指導老師：謝輝）

參考文獻：

[1]張智.數學解題的基本方法[J].數學空間.

[2]何華.數學題解題技巧談[J].科教創新.

作者簡介：

王浩宇，安徽省阜陽市，阜陽一中。endprint