提升學生的探究能力

胡健賓

在新課程改革的背景下，培養學生的創新意識和探究能力，越來越受到人們的關注，探究是數學的生命線，而探究的前提則是需要提供開放的思維空間，為了激發學生的探究能力，培養學生的思維能力，我設計了一堂開放式的探索課。

一、教學設計的背景與思路

圓錐曲線是高中數學的重點內容，是近幾年高考的熱點，一方面，圓錐曲線的多樣性及解題方法的靈活性，為學生多層次、多角度、多方位探索問題提供了開闊的思維空間；另一方面，直線與圓錐曲線的位置關系中，相切是一種特殊并且非常重要的位置關系，在各種級別的考題中，常常出現切線的身影，因此，筆者以教材上的一道習題為例來研究橢圓的切線，和學生一起從定義、判定、方程、性質等四個方面對橢圓的切線進行一些探究。

二、課堂教學實錄節選

基本素材：高中數學教材選修2-1第49頁第7題

教師PPT演示：如圖1，圓O的半徑為定長r，A是圓O內的一個定點，P是圓上任意一點。線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？

教師：當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？

學生：通過運算，容易得出，點Q的軌跡是以O、A兩點為焦點，r為長軸長的橢圓。

教師：直線l和橢圓有怎樣的位置關系呢？這條特殊的直線怎樣求呢？這條直線有什么性質呢？

我在幾何畫板里展示圖象（如圖2所示），并把運動軌跡展示出來，讓同學們共同來發現、探索。

學生討論得熱情高漲，提出了很多觀點，我總結了幾個觀點，讓學生共同探索。

設計意圖：實時與學生交流，挖掘深度思維，通過幾何畫板的動態展示，激發學生探究的熱情。

教師板書：探索一：設F1、F2分別是橢圓（雙曲線）C的左右焦點，作F2關于直線l的對稱點F3，連F1F3，若F1F3=2a（2a是橢圓的長軸長），則直線l是不是橢圓C的切線？

探索三：自橢圓的兩焦點向橢圓的任一切線所引的兩條垂線段，這兩條垂線段長的積是否為定值？

我在黑板展示了圖和三個探索，然后把全班分為6個小組，讓他們思考、作答、交流、討論、互評。頓時，各個小組討論的場面非常熱烈，研究的氛圍特別好。我巡視，參與到學生的研究中，對遇到困難的組進行點撥和幫助。然后，由小組組長用實物投影儀展示小組研究成果，進行闡述和答辯。

設計意圖：創建小組合作學習平臺，激發學生質疑、討論、合作、交流，共同提高。

第1小組的組長在黑板展示了探索一如下：

所以l是橢圓C的切線。

教師：說說你的思路？

學生1：解析幾何的思維特征是，用代數的方法研究幾何問題，這里主要是運用了代數運算，聯立方程，利用Δ=0，方程有唯一根，也就是直線與曲線有唯一交點，就可以證明直線是橢圓的切線。

教師：講得非常好。

同學們用熱烈的掌聲表示非常的贊同。

教師：這證明是否全面了？

很快，第2小組的組長提出了補充。

學生2：第1小組的組長只是說了，當l與x軸不垂直時的情況，但是，當l與x軸垂直的情況沒有討論，其方程為x=-a和x=a，顯然與橢圓相切。

教師：講得非常好。大家掌聲表揚。

第3小組的組長在黑板展示了探索二如下：

教師：講講你的思路？

學生5：這里主要是運用了橢圓的參數方程和點到直線的距離公式，然后把兩個距離乘起來，通過三角變換，最后得出最值。

教師：講得非常好，大家掌聲表揚。

設計意圖：學生的闡述和答辯，讓他們感到有歸屬感、成就感，培養了學生的合作精神和集體榮譽感，通過追問，激發學生思維的深度和廣度。

然后我在黑板上展示一個高考模擬題目，讓學生在課后思考。

練習：如圖3，圓C：（x+2）2+y2=36，P是圓C上的任意一動點，A點坐標為（2，0），線段PA的垂直平分線l與半徑CP交于點Q，

（1）求點Q的軌跡G的方程；

（2）已知B、D是軌跡G上不同的兩個任意點，M為BD的中點。①若M的坐標為M（2，1），求直線BD所在的直線方程；②若BD不經過原點，且不垂直于x軸，點O為軌跡G的中心，求證：直線BD和直線OM的斜率之積是常數（定值）。

設計意圖：讓同學們在課后思考，讓所學的知識得到升華。

三、教學反思

1.巧設疑問，激發興趣

通過本節課的教學實例來看，在對橢圓切線的探索中，學生對橢圓的切線印象深刻，課堂氣氛活躍，學生的學習興趣也大大提高。根據教材習題特點和學情狀況，巧設疑問，激發學生的探究興趣，課堂交流學習成果的方法效果很好，讓學生通過觀察、思考、分析、總結，實現知識的生成，拓寬并且深化學生的思維。

2.合作交流，激發思維

在自主探究時，學生分組討論過程中，我參與小組討論，對有能力的小組，在探究出一種方法后，可鼓勵其完成更多的方法探究，對于能力較弱的小組，可給予適當的提示，使學生都能動起來，在課堂上都有所收獲，增強學生自信。通過在教師指導下學生的合作交流，師生問題交流，促成教與學的交互生成，從而培養了學生的思考力、交流合作精神，實現了學生能力的發展。

3.小組合作，多樣評價

高中數學課程為學生提供了選擇和發展的空間，為學生提供了多層次、多種類的選擇，以促進學生的個性發展和對未來人生規劃的思考。學生的數學學習活動不應只限于接收、記憶、模仿和練習，更要自主探索、小組合作交流學習數學。在本節課中，評價主體學生的自評、互評，加強了交流，啟發了對問題的思考，加深了對問題的理解，有利于教與學的生成以及學生的個性發展和能力的培養。這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程。

參考文獻：

朱海燕.注重細節，提升學生的探究能力[J].數學大世界（下旬），2016（11）.

編輯 張珍珍endprint