多角度解析一道二元條件無理式的值域

鄒生書

題目? 若a≥0，b≥0，a+b=1，則 a+ 1 2? + b+ 1 2? 的值域是 .

這是一道二元條件無理式的值域問題，條件等式與所求式子結構簡潔輪換對稱.本題短小精煉，內涵豐富，解法靈活多樣，多角度解析這道題目可達到以點帶面以少勝多，做一題通一類復習一大片的良好效果.下面給出該題的多角度思路分析與解答，希望對讀者有所幫助. 思路1 輪換對稱，猜想賦值求最值

解析1? 這是一道二元條件無理式的值域填空題，注意到條件等式與所求式子輪換對稱，根據經驗猜想最值在變量相等或極端狀態下取得.當a=b= 1 2 時， a+ 1 2? + b+ 1 2? =2;當a=0，b=1或a=1，b=0時， a+ 1 2? + b+ 1 2? =? 6 + 2? 2 <2.于是猜想 a+ 1 2? + b+ 1 2? 的值域是[? 6 + 2? 2 ，2].

上述猜想是否正確呢？即[? 6 + 2? 2 ，2]是不是所求式子的值域呢？怎樣理性地求解最大值和最小值呢？對于 a+ 1 2? + b+ 1 2? 的最大值我們可用柯西不等式、均值不等式和琴生不等式三種方法求解，解法如下：

知a，b∈[0，1].由琴生不等式得 f（a）+f（b） 2 ≤f（ a+b 2 ）=f（ 1 2 ）=1，則f（a）+f（b）≤2，即 a+ 1 2? + b+ 1 2? ≤2，當且僅當a=b= 1 2 時等號成立.

評析? 用柯西不等式、均值不等式、琴生不等式求解，只能求出最大值無法求出最小值.不等式法雖然有其獨特的一面但有很大的局限性，最多只能求出最大值和最小值中的一個.求多元函數值域或取值范圍問題的常用方法是函數法，通過構造函數同時也可結合不等式、幾何圖形來解決.

思路2 平方后將兩個無理式變成一個無理式求解

解析2? 設y= a+ 1 2 ?+ b+ 1 2? ，兩邊平方得y2=a+b+1+2 ab+ 1 2 （a+b）+ 1 4? ，因為a+b=1，所以y2=2+2 ab+ 3 4? .

（用均值不等式和函數思想求值域）由均值不等式得1=a+b≥2 ab ，又a≥0，b≥0，所以0≤ab≤ 1 4 .當ab=0時，y2

min=2+ 3 = 4+2 3? 2 = ?（ 3 +1）2 2 ，所以ymin=? 3 +1? 2

=? 6 + 2? 2 .當ab= 1 4 時，y2max=4，所以ymax=2.

故 a+ 1 2? + b+ 1 2? 的值域是[? 6 + 2? 2 ，2].

另解 （消元后用二次函數求值域）由a≥0，b≥0，a+b=1，得b=1-a，代入y2=2+2 ab+ 3 4? ，得y2=2+2 -a2+a+ 3 4? ，其中a∈[0，1].由二次函數圖象和性質知，當a= 1 2 時，y2max=4，則ymax=2.當a=0或a=1時，y2min=2+ 3 ，得ymin=? 6 + 2? 2 .故 a+ 1 2? + b+ 1 2? 的值域是[? 6 + 2? 2 ，2].

設z=x+y，則z就是過圓弧上的點（x，y）的直線l：z=x+y在y軸上的截距.由圖知，當直線l過圓弧中點Q（1，1）時，直線l在y軸上的截距z=2最大;由于直線l與直線AB平行，所以當直線l過圓弧兩端點時，直線l在y軸上的截距z=? 6 + 2? 2 最小.

解題有三個境界：就題論題，以題論法，以題論道.解法與境界因題而異因人而異，一題多解，一題多變，多題一法，要培養學生溝通題與題之間的聯系，區分法與法之間的異同，構建知識網絡，深化對問題的認識，提高分析問題和解決問題的能力，提升數學綜合素質和核心素養.