由一道數學題引出的思考
——初一全等三角形復習思考

黃 鳴

（江蘇省常熟市實驗中學，江蘇蘇州215500）

由一道數學題引出的思考
——初一全等三角形復習思考

黃 鳴

（江蘇省常熟市實驗中學，江蘇蘇州215500）

全等三角形的知識是初中幾何的重點內容，是初中階段幾何推理的基礎，也是訓練學生思維邏輯性的開始，對培養學生書寫數學推理過程養成步步有據，不憑空亂寫有至關重要的作用。

全等三角形；復習

引 言

全等三角形的知識是初中幾何的重點內容，是初中階段幾何推理的基礎，也是訓練學生思維邏輯性的開始，對培養學生書寫數學推理過程養成步步有據，不憑空亂寫有至關重要的作用。因此如何使全等三角形的復習課上得有意義，是我需要考慮的。我在復習全等三角形時，就選用了一個基本圖形，例題和習題的配備都是圍繞這個基本圖形而展開的，這樣就做到了一圖多用，即出現了例1的多個變式，從而突出本節的重點：尋找證明三角形全等的思路，做到以不變應萬變。

一、基本圖形的運用

例1：如圖銳角△ABC中，AD⊥ BC，BF⊥ AC。 若 BE=AC，求∠ABC度數。

例題分析：此題看似求角度，應該是個計算角度的問題。可實際上它是一個全等三角形的證明題，不能被它的表象所迷惑，應該通過證明全等三角形去解決這個問題。所以全等三角形不單單可以解決類似相等角相等線段的問題，也能解決有關特殊角度的問題。

解題思路：本題是通過證明△BED≌△ACD，再從全等三角形對應邊相等得到AD=BD，因此△ABD是等腰直角三角形，從而解決∠ABC度數問題。

解題過程：

點評：本例題運用了全等三角形的證明方法，在學生解答中應注意書寫描述的合理性。

二、例1的條件稍加改變，就可以形成變式1的題目

變式1：如圖銳角△ABC中，AD⊥BC，BF⊥AC。若AC=6cm，AD=BD，求BE的長。（圖形同上）

例題分析：這個題目看似求線段長度，應該是個計算線段長度的問題，可是實際上它是要求線段和已知線段關系的判斷問題。從條件入手發現要求線段和已知線段可能是相等關系，從而轉化為求證全等三角形的問題來解決。所以全等三角形有時還可以解決有關的線段長度問題。

解題思路：本題是通過證明△BED≌△ACD，再從全等三角形對應邊相等得到BE=AC，再由等量代換得到BE的長度也為6cm，但這次全等的證明與例1有所不同。

解題過程：前面的解題過程和上面類似，然后：

點評：在做完例1后再思考變式1時，思路有了上題的模式可套，會容易一些，但在證明全等三角形的過程中，尋找判定條件時應區分與例1的判定方法有所不同。

在變式1的圖形下再做細微的改變，又得到一道新的題目，如下：

變式2：如圖△ABC中，AD⊥BC，若BE＝AC，DE＝DC，BE和AC垂直嗎？請證明你的結論。（圖形同上）

例題分析：從這道題目的已知條件出發，很容易可以判斷出,需要證明全等三角形，得出角度的關系，再聯系要求證的結論是垂直，已知條件中有垂直出現，那么可以用全等三角形對應角相等的性質去解決這個問題。

解題思路：本題是通過證明△BED≌△ACD，首先要抓住直角三角形證明有幾種方法，證明全等后，再從全等三角形對應角相等得到∠EBD=∠EAF，再由三角形內角和得到∠BFC=90°或∠BFA=90°，再得到最后結論為垂直。

解題過程：證明過程略。

點評：本題是非常經典的一道例題，在很多參考書上都有，學生在初學求證過程中，不會整理思路。在求證垂直的解題中，大多數需要證明夾角為90°，那么怎樣證角90°，除了計算一條思路外，還可以通過證明與已知的90°角相等這種方法，證明角度相等也可以用全等三角形去解決。

三、動態問題的變式

那么除了上述的變式之外，動態問題，也是近年來經常提到的問題，因此在這張圖形上也可以把AC邊和BD邊上的兩個點看作可以移動的動點，將上面的題目再稍加變化得到下題：

變 式 3： 在 △ ABC中，AB＝ AC， ∠ BAC＝ ∠ ACB＝60°，點D、E分別在BC、AC邊上運動，且AE＝CD，AD、BE相交于點F。求∠BFD的度數。

例題分析：這道題目看似求角度的計算問題，實際上還是要通過全等三角形的證明，再通過全等三角形的性質去尋找要求的角和已知角之間存在的關系。

解題思路：本題通過證明△ABE≌△CAD，然后由全等三角形得到對應角∠ABE=∠CAD相等，再由三角形內角和得到∠ABE+∠AEB=120°，再通過等量代換得到∠CAD+∠AEB=120°，所以∠AFE=60°，因此∠BFD=∠AFE=60°。

解題過程：

點評：本題的求證對于剛學習全等三角形的學生來說，還是具有一定難度的，但是如果通過上面幾題的練習，思維上也就能套上這樣的思路去求解這類問題了。

結 語

上面舉例的幾個問題，對于初學全等三角形的學生來說，經常存在著各種問題，比如解題思路不會往全等去考慮，還有角度線段間的轉化沒有那么順利，因此此類問題還是值得我們教師拿出來和學生一起研究討論的。

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準(S).北京:北京師范大學出版社,2012.

[2]萬波.淺析初中數學教學中的全等三角形解題策略[J].數理化解題研究,2016,(35):12.

[3]李紅雪.尋找條件,得出結論——引導型教學在初中數學三角形全等中的應用[J].數學學習與研究,2014,(20):10.

黃鳴，1979年生，女，江蘇常熟人，現任江蘇省常熟市實驗中學數學教師，2009年獲常熟市中小學教師解題基本功競賽二等獎；2012年獲常熟市初中教師把握學科能力競賽三等獎。中學一級教師。