數學模型，讓問題更簡單

張瑜

[摘? 要] 數學方法的掌握和數學思想的領悟是數學學習的關鍵，初中數學亦是如此. 數學模型則是這關鍵要素中的核心要素，是數學學科所特有的方法和思想之一.

[關鍵詞] 數學模型;初中數學;函數模型;素養

數學模型是運用數學思想和數學語言描繪現實問題，是基于建構主義理論的一種主動學習過程，是將某一對象進行數學抽象，然后應用數學公式進行模擬和驗證的一種模式化思維形式. 模型的建立在初等數學中對于實際問題的解決起著關鍵作用，也是發展建立數學思維的重要方法. 數學模型包括方程模型、函數模型、不等式模型、概率模型、幾何模型等. 而數學模型從經歷實際問題的分析、實際問題的抽象、實際問題的建模、數學公式的應用、實際問題的解決，每種模型問題有相似之處，方法與思想也萬變不離其宗. 而如何引導學生學會使用數學方法解決數學問題，提煉數學思想是教師需要重點思考與研究的關鍵所在. 為此，本文以初三數學專題復習課“圖表信息類問題”中的教學片段為例，談談函數模型在數學中的實踐性運用及筆者對此的一些看法.

熱點再練，溫故知新

圖表信息類問題是近幾年中考的熱點問題，在中考試卷中所占的分數也呈現出逐年上升的趨勢，這種上升是基于其價值與社會需要而形成的. 因為圖表信息類問題以圖表的形式向學生呈現各種問題信息，而學生需要經歷識圖識表、圖表轉換、問題建模、公式應用等過程，每個過程都對學生在相應環節所需要的能力提出了較高的要求. 因此，它的出現有其多重身份和價值的彰顯. 為此，我們在初三二輪復習中需將此作為一個獨立專題精講精練，滲透其中的函數思想，對學生進一步領會函數思想，提高數學能力有著積極作用. 通過熱點再練對已學知識的再現和回憶，發現新的問題，達到新的高度，由“溫故”而“知新”.

1. 在一次國際馬拉松比賽中，一名34歲的男子帶著他的兩個孩子一同參加了比賽，記者對兩個孩子的年齡充滿好奇，圖1是兩個孩子的對話，你能據此幫記者推算出他們的年齡嗎？

3. 桌面上有甲、乙、丙三個圓柱形的杯子，杯深均為15厘米，表1記錄了甲、乙、丙三個杯子的底面積. 甲杯中裝有10厘米高的水，今小明將甲杯內的水倒入乙杯或丙杯，在此過程中沒有水溢出，若不計杯子厚度，則乙杯、丙杯內的水面高度為多少厘米？（）

A. 7、8? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B. 7.5、8

C. 7、6? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D. 7.5、6

4. 圖3反映的是爺爺早上起床后從家出發，先去玉米地澆水，再去菜地除草，然后回家吃早餐. 若玉米地和菜地的距離為a km，爺爺在菜地除草比在玉米地澆水多用了b min，則a，b的值分別為（? ? ? ）

A. 1、8? ? ? ? ? ? ? ? ?B. 0.5、12？搖？搖？搖

C. 1、12? ? ? ? ? ? ? ?D. 0.5、8

5. 為了解某市居民晚飯后的活動方式，調查小組設計了“閱讀”“鍛煉”“看電視”和“其他”四個選項，用隨機抽樣的方法調查了該市的部分居民，并根據調查結果繪制成如圖4的統計圖. 根據統計圖所提供的信息，解答下列問題：

（1）本次共調查了______名市民;

（2）補全條形統計圖;

（3）該市共有800萬市民，估計該市晚飯后鍛煉的人數.

完成方式：學生獨立完成，后小組校對答案，而教師則是巡視整個課堂情況. 一是從巡視學生獨立作業的過程中，發現問題、分析問題，并鎖定解決問題的策略. 二是巡視學生小組合作交流的過程，通過私下詢問、觀察了解學生已有的思維動態，發現問題、啟發問題、分析問題，并為自己如何進一步激發學生的思維碰撞與融合做好充分準備.

師：以上這5個問題分別代表了圖表信息哪些類型的問題呢？

生1：分別是圖片信息、圖形信息、表格信息、圖像信息、統計信息.

師：你歸納得非常完整. 針對這些問題，大家的解題思路是什么呢？

生2：先讀圖，再分析，接著建立數學模型，最后解決問題.

師：沒錯，在這個過程中，讀懂題意，建立正確的數學模型是解決問題的關鍵.

設計意圖? 上述5個問題幾乎囊括了初中階段圖表類問題的所有情形，題目難度不大，學生基本可以獨立解決，因此這環節的設計主要是讓學生對圖表類問題有系統的認識，在此基礎上展開難度較大的問題，滲透函數模型的用法.

典例剖析，提煉方法

二輪復習主要的目標是發現規律、總結方法，啟發學生站在更高的高度審視我們所學的內容，并幫助學生在自己已有的數學素養下，建構成思路更清晰、脈絡更通暢的知識與技能網絡. 因此，在二輪復習時的例題應具有挑戰性和引領性，一方面是讓學生有提高的空間，讓學生的思維在訓練中得以拓展，另一方面是這個環節的教學設計可以引領學生把關注點置于方法的提煉上，真正實現能力上的提升.

例1? 甲乙兩地相距300 km，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發駛向乙地. 如圖5，線段OA表示貨車離甲地的距離y（km）與時間x（h）之間的函數關系，折線BCDE表示轎車離甲地的距離y（km）與時間x（h）之間的函數關系.

（1）通過精準讀圖，你得到了哪些信息？

（2）你可以提出哪些可供同學求解的問題？

（3）思考：這些問題的解決需要哪些數學知識？

完成方式：（1）以小組為單位，共同探討，（2）由小組間相互問答，（3）由師生共同總結歸納.

在問題（2）中，學生們集集體的智慧，提出并解答了如下問題：

生1：轎車多長時間能追上貨車？

生2：在2.5≤x≤4.5范圍內，當x取何值時，兩車相距10 km？

生3：當轎車到達目的地時，貨車離乙地有多遠？

生4：求轎車的平均速度.

問題（3）師生共同總結：上述問題的解決需要用到根據實際問題結合坐標解讀圖像的實際意義、待定系數法求解析式、函數值的求法等. 其中最主要的就是函數思想，即將實際問題抽象為函問題.

例2? 如圖6，A，B，C，D為矩形的四個頂點，AD=4 cm，AB=d cm. 動點E，F分別從D，B出發，點E以1 cm/s的速度沿DA邊由D向A移動，點F以1 cm/s的速度沿BC邊由B向C移動，當點F移動到點C時，兩點同時停止移動. 以EF為邊作正方形EFGH，點F出發x s時，正方形EFGH的面積為y cm2. 已知y與x的函數圖像是拋物線的一部分，如圖7所示. 請根據圖中信息解答下列問題：

（1）自變量x的取值范圍是______;

（2）d=_____，m=_____，n=______;

（3）求點F出發幾秒時，正方形EFGH的面積最大？最大面積為多少？

完成方式：學生獨立完成，后全班交流展示，師生共同歸納思想方法.

在此問題中，（1）（2）是對圖形的解讀，（3）的思路是依據函數的最值求解.

師生共同總結：解決圖表信息類問題的基本思路是讀圖→分析→建立模型→解決問題. 在這個過程中，讀圖、用圖、建模是關鍵.

設計意圖? 兩個例題分別是開放型問題和非開放型問題，開放型問題最能提高學生能力和激發學生創造力. 在二輪復習中，學生已具備一定基礎，讓其對開放型問題進行探究，可以將問題的容量擴大. 用函數思想解決最值問題是初中數學中的常見題型，讓學生獨立完成更有利于其建模意識的形成.

■挑戰新高，提升能力

在數學學習中，提高解題能力的方法之一就是不斷挑戰更高水平層次的問題，“拔尖”也是二輪復習的重要任務之一，因此，給學生提供對應的資源，讓學生有探索的對象，是促進學生提升能力的有效方法.

拓展延伸：如圖8，在菱形ABCD中，∠A=60°，點P從點A出發，以2 cm/s的速度沿邊AB，BC，CD勻速運動到D終止，點Q從A與P同時出發，沿邊AD勻速運動到D終止，設點P運動的時間為t（s）. △APQ的面積S（cm2）與t（s）之間函數關系的圖像由圖9中的曲線段OE與線段EF，FG給出.

（1）求點Q運動的速度;

（2）求圖9中線段FG的函數關系式;

（3）問：是否存在這樣的t，使PQ將菱形ABCD的面積恰好分為1 ∶ 5的兩部分？若存在，求出這樣的t的值;若不存在，請說明理由.

完成方式：課上學生獨立思考，如有疑惑留至課后和同學一起交流解決問題.

設計意圖? 該題需要就動點的不同位置所形成的不同問題進行分類討論，有一定的難度，在課上留有一定的時間讓學生思考，可以培養他們的思維，將問題留至課后讓學生之間借助集體的智慧共同解決，有利于增強班級的凝聚力和學生之間形成相互學習的習慣.

圖表信息類問題實質上就是數學模型思想的直接呈現，其中大部分問題是通過函數模型思想來解答的. 因此借助該專題，可以強化學生對函數模型思想的認識及用法，對進一步體會其他類型的模型思想也有促進作用.

“模型”對學生來說是較為抽象的概念，在實際問題中滲透模型思想的含義及用法，學生更易于接受. 函數模型是重要的數學模型之一，建立函數模型求解問題也是解決初中代數綜合問題的重要思想方法，數學模型能讓問題更簡單.