一道習題的解法、推廣及拓展

福建省福安市第二中學 林如翰

教學中發揮例習題的功能，有利于學生掌握知識、提高技能，形成能力。因此，教師在講評例習題中，注重并挖掘例習題的本質，探究例習題的價值，對培養與發展學生的數學思維能力具有重要意義。本文通過一個習題的解法、推廣及拓展，并結合自己的教學實踐談談感悟與思考。

一、習題及解法

題目：如右圖，已知拋物線y2=4x的焦點為F，過焦點F的直線l交拋物線于A、B兩點，O為坐標原點，若△AOB的面積為求弦長

解法1：依題可知l的斜率存在，設直線l的方程為y=k(x-1)且k≠0，代入拋物線方程y2=4x得[k(x-1)]2=4x，即k2x2-2(k2+2)x+k2=0，則Δ＞0且原點O到直線l的距離為所以△AOB的面積

解法2：設直線l的方程為x-1=my且m≠0，將x=my+1代入拋物線方程y2=4x得y2-4my-4=0，則Δ＞0且y1+y2=4m，y1y2=-4，所以則

解法4：以焦點F為極點，Fx為極軸建立極坐標系，則拋物線y2=4x的極坐標方程為所以令點A的極坐標為(ρ1，θ),則點B的極坐標為(ρ1,θ+π)，所以原點到直線l的距離d=1×sinθ，且=6。

二、推廣與拓展

1.最值問題

若解析幾何中的相關長度、面積、斜率、離心率等幾何量是某變量的函數，則都可以轉化為求目標函數的最值問題，這是函數思想方法在解析幾何中的應用。

解：不妨設直線l1的傾斜角為θ且則直線l2的傾斜角為由以上可得弦長當sin2θ取得最大值為1時，即取得最小值，為8p。

2.軌跡問題

圓錐曲線中有許多豐富的、有趣的軌跡問題，如某動點軌跡、中點軌跡、相關點軌跡、重心軌跡、垂心軌跡等問題，都是十分有趣、有益的探究學習活動。

例2 已知拋物線點F的直線l交拋物線于A、B兩點，O為坐標原點，過點O作弦AB的垂線，垂足為H，求H的軌跡方程。

3.對稱問題

圓錐曲線中的對稱問題包括點關于點的對稱、曲線關于點的對稱、曲線關于直線的對稱等，抓住中點坐標與斜率關系是處理這類問題的關鍵。

解：（1）當直線l的斜率不存在時，顯然拋物線上不存在兩點C、D關于直線AB對稱；

三、啟示與展望

通過一道習題的求解及拓展、探究并解決解析幾何中常見問題，從中感受拋物線焦點弦所蘊含的豐富數學內容。在數學教學中實施探究性學習，提升學生探究能力和學會數學地思考，有利于培養科學精神、數學思維品質與能力，從中體會到弗賴登塔爾的“再創造”原理。數學教學方法的核心是學生的“再創造”，應引導學生經歷數學“再創造”、交流數學和應用數學，同時也啟發我在今后的教學中應充分挖掘習題的潛在功能與價值，為追尋數學教學之道而努力。

[1]裴金樓.拋物線焦點弦的幾條性質[J].數理天地（高中版），2007（10）：4-5.