小題大做：思路“串成線” 題目“連成片”

李端風

摘 要：培養學生的思維能力是數學教學的目標之一，而習題教學又是提高學生思維能力的重要教學方式。本文主要講述，教師作為學習的組織者和引導者，應該關注習題課堂上學生迸出的思維火花，抓住機會進行合理的引導、梳理，讓學生認清解題思路的主線，并能由點及面，舉一反三。

關鍵詞：思維能力；習題教學；思路主線

中圖分類號：G633.63文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）24-045-2

在日常的教學中，教師應該調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維。教師應該重視課堂上“意外”的出現，抓住機會，合理利用學生“意外”的思路，從眾多方法中確定主線，將思路“串成線”，適當補充相關例題，使題目“連成片”，從而使學生對題目有更深層次的思考和理解。下面是筆者在一次習題教學中針對一道題目的教學經歷。

一、題目呈現

題目：如圖，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，點E在DC上，試說明AD+BC=AB成立的理由。

（學生先獨立思考、再合作交流之后，展示自己的解法）

二、解法展示

學生1：

在AB上截取線段AF，使AF=AD，連接F、E兩點，如圖，因為AE=AE，∠1=∠2，AF=AD，可得△ADE≌△AFE，從而得∠D=∠AFE。因為AD∥BC，所以∠D+∠C=180°，又因為∠AFE+∠BFE=180°，可得∠C=∠BFE，又已知∠3=∠4，BE=BE，可得△BFE≌△BCE，所以BF=BC，又因為AF=AD，所以AD+BC=AF+FB=AB，即AD+BC=AB。

（此種解法是本題常用的解題思路，但有學生提出新的方法）

學生2：

在∠AEB上截取∠AEF，使∠AEF=∠AED，如上圖，EF交AB于點F，因為AE=AE，∠1=∠2，∠AEF=∠AED，可得△ADE≌△AFE，從而得AF=AD，∠D=∠AFE，接下來的證明與學生1相同。

教師：兩位同學的證明方法主要區別在于輔助線的添加，那么還有別的方法嗎？

學生3：將△ADE沿AE翻折，點D落在AB上F點處，如上圖，可知△ADE≌△AFE，得AF=AD，∠D=∠AFE，下面證明過程同上。

教師：方法很好，避免了作輔助線后三角形全等的證明，而是通過翻折直接得到。

學生4：在AB上確定一點F，使DE=EF，再去證明△ADE≌△AFE。

教師：這種方法正確嗎？能得到△ADE≌△AFE？

眾生：不能。

教師：為什么不能得到？

眾生：按照這種方法添加輔助線，可得條件DE=EF，又已知AE=AE和∠1=∠2，但是這三個條件不能判定△ADE≌△AFE，所以思路無法繼續。

學生5：可以延長AE、BC交于點F，如圖所示，因為AD∥BC，所以∠1=∠F，已知∠1=∠2，可得∠F=∠2，又因為∠3=∠4，BE=BE，所以△ABE≌△FBE，進而得AB=BF，AE=EF，又因為∠1=∠F，∠AED=∠FEC，所以△ADE≌△FCE，可得AD=CF，因為AB=BF=BC+CF=BC+AD，所以AB=BC+AD，即AD+BC=AB。

教師：本解法與之前解題思路有很大的區別。之前是將線段AB分割成兩段，分別證明與線段AD、BC相等，得出結論。此種方法將線段AD、BC拼接成一條線段，并證明與AB相等，得出結論，還有新的方法嗎？

學生6：也可以延長BE、AD交于點F，用與上面類似方法證明。

三、解法思路——串成線

學生思考出五種解題方法，通過師生共同梳理分析，整個解題思路可以分成兩條主線：（1）構造全等三角形。每種方法都添加了輔助線，并且輔助線添加之后都使圖形中出現了全等三角形，再利用全等三角形推出新的條件，使解題思路得以繼續；（2）分割或拼接。將AB分割成兩段，分別證明與線段AD、BC相等，從而得出結論，前三種方法即分割的方法，或者將線段AD、BC拼接成一條線段，并證明與AB相等，從而得出結論，最后兩種方法即拼接的方法。

四、相關題目——連成片

通過討論分析，學生不但基本掌握解題思路，而且分析出多種解題方法，明確了解題主線。教師抓住機會繼續拓展，將與原題相關聯的題目繼續呈現，使關聯題目連成片，“升華”學生對題目的理解。

題目1：如圖，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，點E在DC上，試說明∠AEB=90°。

分析：本題與原題條件相同，但證明結論不同。

題目2：如上圖，已知∠1=∠2，AB=AD+BC，E是CD的中點，試說明BE是∠ABC的平分線。

分析：本題將原題結論作為已知，將已知作為結論，需要學生將原題的解題思路進行逆向推理，反過來論證，對于學生逆向思維的鍛煉很有幫助，也使學生對原題有了新的、更全面的認識和理解。

五、思考

上述案例，筆者原本只作為一般題目講解，但意外的是學生卻給出了多種不同的解題方法，而筆者借勢進行引導分析，跟學生一起總結本題解題思路主線，并對相關題目進行適當拓展補充，讓其不僅理清了本題的解題思路，掌握多種解題方法，而且見識到與其相關聯題目，鍛煉了學生“舉一反三”的能力。

課堂是師生共同交流和探討的場所。在課堂上，教師除了講授知識外，應該多聽聽學生的思路和想法，因為有些想法也許是我們疏忽或遺漏的，而這些想法對完善和提高我們教師的知識體系很有幫助。對于課堂上遇到的另類思路和解法，教師必須認真對待，深刻思考，善于發現亮點，長于巧妙利用，正確分析引導，往往收到意想不到的教學效果。endprint