一道錯(cuò)解引發(fā)的“微”教研
——多變量函數(shù)不等式問題的探討

☉浙江省杭州第二中學(xué) 謝麗麗

教研活動(dòng)是教師專業(yè)成長(zhǎng)的有效途徑，不僅是固定時(shí)間，固定場(chǎng)合，固定內(nèi)容的，更應(yīng)是隨時(shí)的，活動(dòng)的，多樣的.常規(guī)的教研活動(dòng)往往間隔時(shí)間較長(zhǎng)，而備課組每天都在進(jìn)行各式各樣的“微”教研活動(dòng)，解題活動(dòng)則最為平常.筆者所在的備課組教研氛圍濃郁，教師的疑問常常會(huì)引發(fā)我們共同的思考.筆者在此記錄一次“微”教研的收獲與筆者的后續(xù)思考，以供饗耳.

一、撥錯(cuò)反正

教師1提出練習(xí)卷中的一道題目的錯(cuò)解.

設(shè)二次函數(shù)f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）.

（1）若c=b，且f（x）在［0，2］上的最大值為c+2，求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)b，都存在實(shí)數(shù)x0∈［1，2］，使得不等式|f（x）|≥2x成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

錯(cuò)解：由題意知，只需當(dāng)x0∈［1，2］時(shí)，

maxmin2對(duì)任意的實(shí)數(shù)b都成立.

教師1：改為只需g（x）max-g（x）min≥4對(duì)任意的實(shí)數(shù)b都成立.

其他教師一致表示贊同.教師們的探討并未因答案的更正而結(jié)束.

探討1：為什么可以這樣轉(zhuǎn)化，依據(jù)何在？

教師2：變量處理常用策略，去絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為恒成立最值問題，逐個(gè)消元.

|x2+bx+c|≥2x?x2+bx+c≥2x或x2+bx+c≤-2x?2-

2.當(dāng)c∈（0，1）時(shí)，g（x）在［1，2］上單調(diào)遞增，2+（1+c）≥4，所以c≤-6無解.

4.當(dāng)c∈［4，+∞）時(shí)，g（x）在［1，2］上單調(diào)遞增，1+c-

綜上，c≤-6或c≥10.

教師3：考慮b的任意性，數(shù)形結(jié)合，找出特殊狀態(tài).將問題一般化，即為對(duì)任意的實(shí)數(shù)b，都存在實(shí)數(shù)x0∈［a，b］，使得不等式|g（x）|≥m成立，如圖1，當(dāng)g（x）max=-g（x）min=m，此時(shí)g（x）max-g（x）min=2m，存在實(shí)數(shù)x0∈［a，b］，使得不等式|g（x）|≥m成立.上下平移圖像1可得如圖2，g（x）max≠-g（x）min，此時(shí)g（x）max-g（x）min=2m，存在實(shí)數(shù)x0∈［a，b］，使得不等式|g（x）|≥m成立，則當(dāng)g（x）max-g（x）min＞2m，命題也成立.所以，原命題等價(jià)于g（x）max-g（x）min≥4對(duì)任意的實(shí)數(shù)b都成立，代入計(jì)算即可.

圖1

圖2

探討2：題目中變量的設(shè)置意圖何在？

不受限的常數(shù)變量b的出現(xiàn)，在于體現(xiàn)其任意性，無論圖像如何上下移動(dòng)，結(jié)論恒成立.可以利用代數(shù)運(yùn)算，求解b的范圍，由b∈R，消b，也可以利用函數(shù)圖像變化，感受b對(duì)命題的影響，從而從運(yùn)動(dòng)變化中尋求不變性質(zhì).

二、集思廣益

探討3：嘗試尋找同類型題目，所給方法是否具有一般性？

（2016年4月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平測(cè)試數(shù)學(xué)試題第18題）

解題方向一：去絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，逐個(gè)消元.

?b≤g（x）max-m或b≥g（x）min+m

?g（x）max-m≥g（x）min+m?g（x）max-g（x）min≥2m.

因?yàn)閍＞0，所以g（x）是減函數(shù)，所以g（1）-g（2）=2-a-（1-2a）≥2m，1+a≥2m.因?yàn)?a＞0，所以m.

h（x）max-h（x）min≥2m，2-a-b-（1-2a-b）≥2m，1+a≥2m.

解題方向二：抽象出最值形式，利用不等式求解.

解題方向三：從幾何角度入手，數(shù)形結(jié)合.

圖3

圖4

圖5

三、推廣延拓

探討4：能否總結(jié)一般解法，并予以應(yīng)用推廣？

波利亞說：數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的反思.此類題函數(shù)式中含分式、絕對(duì)值等運(yùn)算，綜合了“恒成立”和“存在性”兩大問題，此類題之根本是復(fù)合最值，切入點(diǎn)在于對(duì)絕對(duì)值的處理，有三個(gè)方向：①代數(shù)角度，分類討論；②幾何意義，數(shù)形結(jié)合；③絕對(duì)值不等式，構(gòu)造結(jié)構(gòu).當(dāng)然，還需深刻理解變量的意義，逐個(gè)消元.

筆者翻閱試題，發(fā)現(xiàn)不少同類題型，比如2015年浙江省學(xué)考題，亦是.教學(xué)中需要舉一反三，觸類旁通，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型.

（1）當(dāng)a=0，b=1時(shí)，寫出函數(shù)（fx）的單調(diào)區(qū)間；

（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，總存在實(shí)數(shù)x0∈［0，4］使得不等式f（x0）≥m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.（2015年1月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平測(cè)試數(shù)學(xué)試題第34題）

解法此略.

四、結(jié)語

1.“微”教研實(shí)現(xiàn)智慧共享

在教學(xué)過程中，教師應(yīng)不斷反思，改進(jìn)工作方法，除集體備課之外，讓教師交流在日常教學(xué)中遇到的各種問題和困惑，讓大家在共同思考解決問題的過程中，取長(zhǎng)補(bǔ)短，集思廣益，還可能迸發(fā)出新的思維火花，從而提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效益.如案例中，“微”教研活動(dòng)并不是一步到位的，筆者后續(xù)又進(jìn)行了系統(tǒng)的思考、整理、歸納，在這樣的“微”教研中，每個(gè)教師都能獲得自己的成長(zhǎng)需要.

2.營(yíng)造自由的合作教研氛圍

在數(shù)學(xué)備課組合作教研過程中，形成寬松自由的交流氛圍，才能使各個(gè)教師極大程度地解放和拓寬自己的思維廣度，針對(duì)教學(xué)過程中出現(xiàn)的各種問題積極大膽地發(fā)表自己的建議和想法，暢所欲言，使教學(xué)經(jīng)驗(yàn)得到充分的交流和共享.

3.維持合作教研與獨(dú)立思考的平衡

以授課需要為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)備課組合作教研，是在某個(gè)教師遭遇自己無法解決的問題時(shí)，大家一起合作交流討論，使問題得以解決的.但是，這樣卻使得有些教師過分依賴備課組合作教研的方式來進(jìn)行授課，缺乏自己在教學(xué)過程中的獨(dú)立思考.所以，教師不能過分依賴集體備課的教研成果，而應(yīng)保障自我獨(dú)立思考能力的提升，維持合作教研與自己獨(dú)立思考之間的平衡關(guān)系.

教學(xué)需要個(gè)性化的教學(xué)風(fēng)格，但是教學(xué)也需要團(tuán)隊(duì)的力量.教學(xué)內(nèi)容的深刻性和教學(xué)方法的有效性還需要團(tuán)體研究在教研團(tuán)隊(duì)中，我們需要傾聽互相的教育故事，感受教育帶來的快樂，讓數(shù)學(xué)教學(xué)變得更有價(jià)值，一起追尋數(shù)學(xué)教育的夢(mèng)想.

1.謝麗麗.不因惑小而不思——關(guān)于N次獨(dú)立事件的師生探討［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2014（10）.

2.毛玉峰.例談“絕對(duì)值三角不等式”的研究與拓展［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2017（4）.