結果·過程·本質
——高中數學解題反思能力的三條主線

☉浙江省臺州市第一中學 戴軍輝

高中數學教學中，我們要關注學生反思能力的培養，尤其是在圍繞數學問題的探索過程中，很多學生的研究止步于答案的得出，這顯然是不夠的.我們需要引導學生圍繞問題解決的一系列過程展開積極的反思，由此來培養學生的自我反饋能力和反思意識，進而提升學生的自主學習能力，這是課程改革背景下數學教師的重要職責，而且提升學生的反思意識不僅是培養學生自學能力的需要，它還將進一步改變學生的學習方法，推動課堂教學向更深層次發展.

一、對解題結果進行反思

學生對問題的解決不可避免地會出現一些錯誤，這并不可怕，關鍵是學生要善于對這些錯誤進行反思.學生錯誤的出現有時是由于知識上的缺陷造成的，有時是能力缺陷引起的，有時是邏輯和策略上的失誤造成的，還有是非智力因素形成的.所以，在解決完一個問題之后，教師都有必要引導學生對結果的正誤進行思考，探索錯誤發生的根源，明確錯誤產生的原因，進而找到正確的解決方法，并提出改進措施，引領學生積極展開糾正和提升工作.

例1 已知3x2+2y2=9x，求x2+y2的最大值.

反思：雖然以上采用兩種不同的分析思路得到了完全相同的結果，即x2+y2的最大值為，但是這些都是錯誤的，其原因在于學生沒有深入分析條件3x2+2y2=9x，由于2y2=9x-3x2是一個非負數，因此可知0≤x≤3.在錯誤解答1中，x=顯然不在上述關于x取值的限定范圍內，所以答案肯定有誤；在錯誤解答2中，使用判別式進行解題的基本條件需要未知數的取值范圍是整個實數集，而現在x的取值范圍被限定，因此無法保證判別式能恒成立.

二、對解題過程進行反思

學生處理習題的主要目的是對所學的知識和技能進行鞏固，對所學的思想方法進行熟悉，對隱含于數學知識中的文化價值進行體會.因此，為了提升習題練習的效果，教師在學生完成解題后要積極展開思考，思考的問題可以是以下內容：（1）問題分析過程的每一步推理和演算有什么依據，其中涉及怎樣的數學思想？（2）問題的處理中是否還需要補充哪些內容，或是剔除某些環節？（3）圍繞問題的分析和解決過程，我們還可以得到哪些結論？（4）如果對題目的條件和圖形中的某些因素進行變換和表征，還能采用之前的方法來處理嗎？通過這一系列問題的處理和分析，我們可以引導學生對所學知識形成更加深刻的理解與認識，由此還能增強學生應用數學知識的基本意識，進而提高他們自主探索問題的主動性.

例2（1）已知函數f（x）=-x2+2ax+1-a在x∈［0，3］上有最大取值3，請確定實數a的取值；

（2）已知函數f（x）=x2-2ax+1-a在x∈［0，3］上有最大取值3，請確定實數a的取值.

解析：（1）對函數進行變形可得f（x）=-（x-a）2+a2+1-a，當0≤a≤3時，|f（x）|max=f（a）=a2+1-a?a=2；當a＜0時，|（fx）|max=（f0）=1-a=3?a=-2；當a＞3時，有|（fx）|max=（f3）=5a-8=3?a=，這不符合題意，因此舍去，即a的取值為2或者是-2.

（2）對函數變形可得（fx）=（x-a）2-a2+1-a，該函數圖像的開口向上，又考慮到給定區間的中點是，所以當a≥時，|（fx）|=（f0）=1-a=3?a=-2，這不符合題意，因此舍去；當a＜時，|（fx）|=（f3）=10-7a=3?a=1，這個數值與題意相符.

反思：在指導學生進行反思時，我們先要引導學生對一般化的問題：“求二次函數f（x）=ax2+bx+c在區間［α，β］上的最大值”的處理方法進行概括：如果a＞0，則時，函數在x=α處可以取得最大值f（α）；時，函數在x=β處可以取得最大值f（β）.如果處可以取得最大值時，函數在x=α處可以取得最大值f（α）；當時，函數在x=β處可以取得最大值f（β）.

在對以上內容實現概括的基礎上，學生進一步實現歸納：“求二次函數f（x）=ax2+bx+c在區間［α，β］的最小值”的分析方法.

三、對問題的本質進行反思

高中生在數學學習中的主要難點在于數學問題的千變萬化，很多問題在形式上雖然有不同，但是卻可以將其歸結到同一類題型上；有的問題形式類似，但是本質有別，具有強烈的迷惑性.因此，我們在指導學生展開反思時，務必要深入問題的本質，將形異質同的問題進行歸類，由此引導學生總結出通性和通法；對那些形似而質異的問題展開分析，提升學生的辨析能力，由此避免學生發生錯解.在具體的教學過程中，教師要鼓勵學生自主展開對問題本質的探索并由此激活學生探索數學問題的興趣，進而幫助學生自主發掘學習潛能，提升學習的內驅力.

例3 在橢圓1（a＞b＞1）上是否存在點P，使得∠APO=90°（其中O為原點，A為該橢圓的右側頂點）？

反思：問題的解決絕不是學習的終結，教師還要引導學生展開更深層次的探索和反思，基本的操作可以結合下列問題來展開.

在學生完成了例題的分析和求解工作之后，我們要進一步引導學生對類似的問題展開分析，學生通過研究會發現相關問題雖然在形式上存在差異，但是都屬于同一類問題，受之前解題思路的影響，學生充分發揮思維的遷移能力，妥善獲取了問題的結論.

綜上所述，高中數學教學要發展學生的自學能力，就要將其與數學思維能力、空間想象能力，以及實際問題的解決能力有機地整合在一起，須知反思僅僅只是手段，其目的是發現并解決問題，這樣不僅能優化學生的思維品質，更加改善學生的學習方式，有利于數學核心素養的提升.

1.劉希棟.高中數學反思性學習的實踐與思考［J］.數學教學研究，2004（10）.

2.白偉雄.淺談高中數學的反思性學習［J］.數學通報，2006（12）.

3.倪進.高中數學反思性學習的現狀調查［J］.中學數學雜志，2006（7）.F