化歸思想在高中數學教學中的應用

☉蘇州大學附屬中學 吳 進

數學思想的掌握不是一蹴而就，而是需要經歷一個較為漫長的過程，因此在日常的教學中，教師要有意地反復向學生講解各種數學思想方法，使學生潛移默化中掌握數學思想，最終實現靈活運用數學思想的目標.而化歸思想作為解決數學問題的基本思想，它在高中數學中占據著非常崇高的位置，因此本文中，筆者結合多年的教學實踐經驗，探究了化歸思想滲透的教學策略.

一、研讀教科書，提煉隱含的化歸思想

化歸思想往往會隱含在教科書的基礎知識中，因此作為一線的教育工作者，要正確對待教科書，深入挖掘、提煉教科書中隱含的化歸思想，而在課堂上，教師要合理地運用化歸思想，引導學生用“已掌握知識”同化“新知識”，幫助學生強化對于新知識的理解和掌握.例如，“函數的單調性”章節中，首先映入師生眼簾的是學生較為熟悉的“一次函數”“二次函數”的圖像.深入研讀教科書發現，本節的教學素材就是基本的函數圖像，并遵照由“形”到“數”、由“特殊”到“一般”的原則，讓學生通過一次函數、二次函數的圖像發現圖像上升、下降過程中的規律，在此基礎上，推廣到“函數單調性”的定義.整體來講，本章節內容可以分為三個階段：觀察圖像、歸納規律、得到結論，并且每個階段的活動，都是學生認知上的升華，且整個過程環環相扣，讓學生“潤物細無聲”地完成學習目標.

二、關注通性通法，奠定化歸思想解題的基礎

“通性通法”是化歸思想解決數學問題的基礎，換言之，“通性通法”與化歸思想具有一樣的普遍意義.通過查閱文獻發現，通性通法的知識就是化歸思想教學中的本原問題、標準問題，而在日常的數學教學中，教師要注重本原文本和標準型問題的分析與教學，引導學生將對象轉化為熟悉的問題，從而提高解題的效率和正確率.從數學問題的類型來講，確實呈現多樣性，但是就數學思想和本質來講，是不變的.因此，只要抓住問題的本質，就能夠實現“以不變應萬變”，更能夠將知識與能力融為一體.例如，在學習“數系”時，為了掌握“復數系”的運算法則，筆者通過研究整數系、有理數系、實數系的運算規律和運算性質這一“通性”.這樣不僅能夠消除學生對于“復數系”的陌生感，還能夠加深學生對于“復數系”的理解.

三、引導發散思維，提高學生的遷移能力

要想學生更好地領悟“化歸思想”，就要采用“啟發式”教學，使學生從不同角度思考問題、解答題目，進而使學生的活躍思維得帶培養，同時還能夠使學生運用“化歸思想”的能力得到鍛煉和提升.在考試、練習中，經常會遇到變式類比的題目，這就要求學生能夠做到“活學一題，貫通一類”，而解決變式類比的題目最注重的就是能夠合理地運用化歸思想.

例1 關于x的方程|x-2|+|x+1|=a有解，求實數a的取值范圍.

所以實數a的取值范圍為a≥3.

課堂上，筆者講解完例1后，緊接著給出了兩個變式，分別為變式1、變式2.具體如下：

變式1 關于x的不等式|x-2|+|x+1|≥a有解，求實數a的取值范圍.

解析： 設函數f（x）=|x-2|+|x+1|，則有f（x）=由已知條件可知，存在x使不等式|x-2|+|x+1|≥a成立.通過運算，得出f（x）≥3，即|x-2|+|x+1|能取大于或者等于3的所有實數.所以，當a取任何實數時，不等式|x-2|+|x+1|≥a有解.

變式2 關于x的不等式|x-2|+|x+1|≥a恒成立，求實數a的取值范圍.

解析：由已知可知，實數a不大于|x-2|+|x+1|的所有值.設函數f（x）=|x-2|+|x+1|，則有f（x）≥3.所以，實數a的取值范圍為a≤3.

評注：例1、變式1、變式2是題目的變式類比，也是化歸思想的具體應用之一.這三個題目是根據方程有解、不等式有解、不等式恒成立求參數的取值范圍問題，而解決這類問題的關鍵就是將問題轉化成為函數的最值問題.

變式類比的題目在日常的練習和考試中經常遇到，它的解決確實需要能夠靈活運用化歸思想.而一題多解、正難則反的題目也較為常見，而解決問題也需要運用到化歸思想.因此作為一線的教育工作者，要為學生創造和諧、愉悅的氛圍，萬不能禁錮學生的思維，還要注重引導學生的發散思維，進而使學生的遷移能力得到鍛煉和培養，更能夠提高學生解決問題的能力.

四、聯系新舊知識，幫助學生構建知識網絡

哪一個知識點都不是孤立存在的，因此在日常的教學中，教師要盡可能實現“溫故知新”，使學生的大腦中形成具有自身特色的知識網絡.從某種角度來講，學習的過程就是原有認知結構逐步擴張的過程.而高中階段的數學內容是小學、初中數學知識的擴張和完善，而高中數學知識的顯著特點就是各分支之間的聯系更為緊密，導致學生學習的難度更大，甚至部分學生認為數學知識本身就存在矛盾性.但是，若能夠合理地運用化歸思想將新舊知識聯系起來，將新知識轉化成為舊知識，這樣不僅能夠加快學生學習新知的速度，還能夠使學生盡快地將新知融入到已有的知識網絡中，進而使學生的學習效率和質量得到提高.作為一線的教育工作者，一定要認識到數學知識的零散，更要能夠合理地運用數學思想，將零碎的知識吸附到一起，形成完善、科學的知識結構.

例如，等差數列和等比數列的通項公式.基本性質及前n項和都可看成其遞推關系的推廣和應用.但是，由于受到各種因素的影響，大多數學生會認為等差數列、等比數列是兩個獨立的知識點，兩者之間聯系并不緊密，甚至部分學生認為等差數列和等比數列之間毫無關系.而作為一線的教育工作者，就要做到聯系新舊知識，使學生就數列的相關內容，形成一個完善的知識結構圖，如圖1.

圖1 知識結構圖

五、分析反饋信息，開展針對性、目的性教學

教師的“教”是為學生的“學”提供服務的，因此作為一線的教育工作者，要學會聆聽學生的意見和反饋，更重要的是，教師要認識到學生反饋信息的重要性，并能夠結合班級學生的實況，分析反饋信息，從而開展具有針對性、目的性的教學.在日常的教學中，教師要尊重學生的個性差異，盡可能為學生提供展現自身“閃光點”的空間與平臺，同時還要盡可能彌補學生自身的不足，從而激發學生的學習興趣，樹立學好數學的自信心，進而使學生學習數學的能力得到提升.學習過程就是逐步解決問題的過程，因此學生出現問題時，教師不要急于講解，更不要直接告知答案，而是要結合學生的特點，采用恰當的教學方式，最終解決問題，整個過程中有助于學生形成具有自身特色的學習策略.

例如，在學習“函數性質”這一章節內容時，筆者以“一次函數”和“二次函數”為載體，了解了班級學生相關知識的掌握情況.對于基礎較好的學生，筆者讓學生思考課后的“探索與研究”，為學習“導數”奠定基礎；而對于基礎較為差的學生，筆者則通過“啟發式”的教學方法，引導學生完成“函數性質”的研究，在有必要的情況下，可以花費2～5分鐘的時間，幫助學生復習初中階段學過的“一次函數”和“二次函數”的相關性質，在此基礎上在引導學生研究函數性質，進而認識到研究函數性質的一般方法.

綜上所述，教科書是課堂教學的主要載體，所以作為一線的教育工作者，要深入研讀教科書，挖掘、提煉蘊含的化歸思想，進而使學生的綜合素養和數學技能得到鍛煉和提升.同時，在日常教學的課堂上，教師應在日常教學過程中有意地反復向學生講解化歸思想方法，使學生逐漸達到一定的認識高度，最終能自覺地運用.除此之外，教師還應該注重反思，及時分析學生的反饋信息，不斷地創新和完善教學方法，開展具有針對性、目的性的教學，真正地貫徹“以生為本”的教學理念，落實素質教育.

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