探究數學題中的“將軍飲馬”問題

摘要：相信大家都有聽過：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河。”這兩句話是來自詩人李頎的唐詩《古從軍行》的開頭前兩句。其實在這首詩中，它又隱含著一個非常重要的初中數學問題，那就是軸對稱的應用。

關鍵詞：數學;“將軍飲馬”問題;軸對稱

現很多人都把這個問題叫做“將軍飲馬問題”，大體意思就是：一位將軍本來在山峰A處，但是他的馬渴了，要將馬騎到河邊去喝水再回到營地B，那么要怎樣走才能使得所走的路程最短？請畫出，并說明理由。

分析：過點A作河岸的垂線，垂足為D，在垂線AD上截取A′D=AD，連接A′B，此時與河岸就有個交點C，那么這個點C就是將軍去飲馬的地方。

圖1證明：如圖1，如果將軍在河邊的另外任意點C′飲馬，

所走的路程就是AC′+C′B，

因為A′C′+C′B>A′B=AC+BC，

所以在C點外任意一點飲馬，所走的路程都要遠些。

一、 拓展延伸

【例1】已知點P，Q是△ABC的邊AB，AC上的兩個定點，請同學們在BC上找一點R，使得△PQR的周長最短。

解：尺規作圖，如圖2：

二、 三角形中的運用

【例2】已知等邊△ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點，E是AC邊上一點，若AE=2，EM+CM的最小值為。

分析：要求EM+CM的最小值，需考慮通過作輔助線轉化EM，CM的值，從而找出其最小值求解。連接BE，與AD交于點M。則BE就是EM+CM的最小值。取CE中點F，連接DF。∵等邊△ABC的邊長為6，AE=2，

∴CE=AC-AE=6-2=4，∴CF=EF=AE=2，又∵AD是BC邊上的中線，

∴DF是△BCE的中位線，∴BE=2DF，BE∥DF，又∵E為AF的中點，

∴M為AD的中點，∴ME是△ADF的中位線，∴DF=2ME，

∴BE=2DF=4ME，∴BM=BE-ME=4ME-ME=3ME，∴BE=43BM。

在直角△BDM中，BD=12BC=3，DM=12AD=332，∴BM=BD2+DM2=327，

∴BE=43×327=27。∵EM+CM=BE，∴EM+CM的最小值為27。

三、 平面直角坐標系中的運用

【例3】在平面直角坐標系中，已知有兩個點坐標分別為A（2，-3），B（4，-1）。

（1）現要在x軸上找一個點P，使得與點A、點B組成的三角形周長最小，則點P的坐標為;

（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x軸上的兩個動點，且與A，B組成四邊形ABDC，當周長最短時，a=;

（3）不同于（2），現另兩個動點M，N，如果點M在x軸上，點N在y軸上運動，那么要使四邊形ABMN的周長最短，則點M的坐標為;點N的坐標為。

分析：（1）此小題是找對稱點的問題，只需找兩個其中的一個即可，求解析式入手，注意點坐標的表示及符號問題;

（2）此題明顯就是平移的結合，只需平移點A或點B，平移3個單位，畫出圖形，再找其中一個點的對稱，就轉化到第一小題了，有點難度，考察目的比較明顯，學生不易解決;

（3）這是一道雙動點的題目，但是可能比第二小步來的簡單且易懂;如何把三邊轉化到同一條線段上，借助三點共線來解題是關鍵。找點A關于y軸的對稱點A′，同理找點B′，再將A′，B′連接起來，A′B′為定長，故四邊形ABMN周長最小值即可轉化為線段B′M，MN，A′N三邊之和的最小值問題;加于證明即可，再借助直角三角形的勾股定理或借助兩點間的距離公式解題。

四、 代數應用

——利用圖像解決相關代數最值問題：

【例4】已知代數式x2+4+（x-1）2+4，且滿足0≤x≤1，則它的最小值為。

分析：通過前面的題型及分析知道可構造圖形入手，結合線上一點到兩點的距離之和最值問題即最短路線問題;剛好本題有兩個根號，里面又是兩個平方和，可考慮兩個直角三角形，已知兩邊求第三邊的問題，所以本題是一道綜合性較強的題目，只需轉化就變成簡單的題目，畫出圖形后更為直接明了。

圖3現構造圖形如圖3所示：

在直線AB上取線段AB=1，分別過點A、點B作AB的垂線，并截取AC=BD=2，

∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B。

那么PC+PD=x2+4+（x-1）2+4，所求x2+4+（x-1）2+4的最小值就是求PC+PD的最小值。就把代數問題轉化為幾何問題，而且是簡單的幾何問題。

現只需找點C或點D的對稱點就可以了，現提供點C的對稱點方法：

過點C作點C關于AB的對稱點C′，連接C′D，則C′D為所求作的最小值。現過點C′作C′E⊥DB，交DB的延長線于點E。

則C′E=AB=1，DE=2+2=4，接下來就只要借助勾股定理求邊即可。

作者簡介：

蔡耀龍，福建省泉州市，福建省泉州市東海中學。