論一題多解與多題一解

劉建明

摘 要 在數學的教學過程中，一題多解與多題一解經常被人提及，所謂一題多解，是通過不同的解題思路，采用不同的解題方法和不同的運算過程去分析求解，而多題一解是對同一類型或者能夠采用統一的解題方法的題型，歸納總結出相應一體化的解題方案，達到以不變應萬變的解題高度。前者在于拓寬解題思路，發散思維，培養學生積極思考的解題素質，后者在于培養學生對同類題型進行歸納總結，提高解題能力。

關鍵詞 多題一解一題多解 發散思維 歸納總結

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

克萊恩說過“數學是一種理性的精神，使人類的思維得以運用到最完善的程度。”數學的魅力在于它的多樣性 ，一道題目能夠有不同的解決方式，即人們常說的一題多解；這兩種數學思想對于激發學生的學習興趣，發展學生的思維能力，進一步提高中學生的數學能力有著極其重要的作用。

1一題多解在中學數學中的運用

一題多解是指一道數學題會有不同的解題方法和不同的運算過程去分析求解，這是數學教學中最常用于拓展學生發散思維的一種方法。它在幾何與代數教學中都有體現。

一題多解在幾何中運用最廣泛的是平面幾何內容，例如以下這道題。

在△ABC中，AB=BC，D為AB上一點，E為AC延長線上一點，且BD=CE，DE連線交BC于F，求證：DF=EF

證法1：過D做DG平行于AE，通過△DGF≌△ECF，從而得到DF=EF。

證法2：過E做DG平行于AB交BC延長線于G，通過證明△FDB≌△FEG從而得到DF=EF。

證法3：過B做BG平行于AE，過E做EG平行于BC，連接GF，通過證明BG=CE=BD，△BDF=△BGF，∠GEF=∠BFD=∠BFG=∠EGF，得證CF=GF=DF。

證法4：過D做DG平行于BC，過C做CG平行于BD，連接FG，與上面證法類似，得出DF=EF。

證法5：過E做EG平行于BC交AB延長線于G，通過證AG=AE，BG=CE=BD，由平行線等分線段定理得證DF=FE。

類似的還可以做DG平行BC交AE于G等等，本題通過靈活的輔助線，以不同的證法，融合初中全等三角形，平行線定理，等腰三角形等角對等邊這方面的平面幾何知識，在鼓勵學生拓寬思維，積極思考解題思路，提升教學樂趣的同時，以一道題鞏固初中各種平面幾何知識，相比于每種知識講解一道題的形式而言更加事半功倍。

既然一題多解好處如此之多，那么一題多解的教學關鍵又在何處呢？

對于學生而言，一題多解的關鍵在于發散思維，在于解；對于教師而言，一題多解的關鍵則在于題，如何能夠找到甚至創造出能夠多解，融合多種知識的題型是一題多解的教學關鍵。這對教師有著非常高的要求，首先要對學生已學的知識點有著非常高的敏感度，全面細致透徹地了解知識點是基礎；更進一步則要求教師對某個知識點的考題有足夠的儲備，對于題型要有高敏感度；最后則要求教師要有較高的創新能力和創新意識。三者缺一不可，基礎不牢地動山搖，沒有知識點的全面掌握連基本的教學效果都達不到就更不用談一題多解教學；巧婦難為無米之炊，沒有題型的儲備，即使再有創新的想法也難以落到實處；逆水行舟固步自封，執拗于古板的傳統教學，不思創新進取也難以取得教學上的突破。

2多題一解在中學數學中的運用

相比于一題多解，多題一解也是一種非常重要的數學思想。它更重視學生的歸納總結能力，在一定數量的題型研討學習之后，根據特定類型的題目總結出一套特定的解題方案或者思路，例如平面幾何中的輔助線有圓常用的中垂線，求解帶參數的不等式等等，這類典型的題型都可以歸納出常規的解題方案，學會一題，其他相似的題都能通過自主學習得到。這種思想對于培養學生的自主學習能力有非常重要的意義。

而多題一解在代數中經常使用，例如以下這幾道題型：

題目一：不等式2x m>-3的解集是x>-2，則m的值是____

題目二：如果關于x的不等式（m 1）x>（1 m）的解集是x<-1，則的取值范圍____

以上二道題目其實都是屬于帶參數的不等式或不等式的求解。

這二道題目都是含有參數的不等式，其中已知解集，要求參數的范圍。這種題目的常規做法都是用含參數的不等式表示未知數，然后根據題目給出的解集的形式進行解答。這種題目考查兩點，題目給出的解集要和用參數表示的解集一樣，考慮符號和數值兩個部分，符號方向要一致，數值要相同。

通過對以上兩道題的收集整理，當碰到類似的含參數的不等式求解題型時即可以快速得找到解題思路，這便是多題一解的意義所在。那么多題一解中學生和教師的定位又是怎樣的呢？

學生因為知識儲備有限或者題型儲備有限，很難從相關題型中總結特點，找出一套通用的解題思路或者技巧，所以學生在多題一解中更偏向于題，只有充足的題量儲備，才有可能達到多題一解的高度，反觀教師這一角色，擁有豐富的教學經驗，對知識點融會貫通的程度明顯要比學生強的多，見過的題型也絕對比學生豐富，所以教師在多題一解中更重要的是解，以豐富的經驗和題量儲備，為學生歸納總結出某類題型的解題技巧，能夠大大的提升學生的解題能力，強化學生的解題思路。

3一題多解與多題一解的對比

一題多解與多題一解各有優點和側重點，一題多解在于培養學生發散思維，多思路解題，讓學生主動養成勤思動腦的解題習慣，教師只扮演激發興趣的引路人。多題一解在于引領學生歸納總結類似題型的解法，側重點在于提高學生的解題能力，教師的角色更多是鋪路，以豐富的解題經驗為學生提供更多的解題技巧與思路。不管是一題多解還是多題一解都是一種非常高效的學習方法，教師應該在初等數學的教學中逐漸滲透這兩種思想，以達到培養學生自主學習的能力。

參考文獻

[1] 游荔密.中學數學1的妙用[J].福建中學數學，2008（05）.

[2] 王平.組織一題多解，培養學生發散思維[J].雁北十分學院學報，2001，17（06）.

[3] 賈鳳梅.中學數學教學要注重培養學生的數學思維能力[J].教學理論與實踐，2009（S1）.endprint