小學數(shù)學“數(shù)形結(jié)合”的內(nèi)涵與實踐

安徽省馬鞍山市山南小學 俞潔文

華羅庚先生在一首小詩中寫道：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休！”“數(shù)形結(jié)合”思想對基礎(chǔ)教育界產(chǎn)生了深遠的影響，成為教育者思考問題的模式。小學是培養(yǎng)學生“數(shù)形結(jié)合”思想的良好階段，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合應用意識，讓學生認識到生活中蘊含著大量和數(shù)量與圖形相關(guān)的問題，能運用數(shù)形結(jié)合方法將二者相互轉(zhuǎn)化。

一、小學“數(shù)形結(jié)合”的課堂表達特點何在

梳理人教版（2015）小學數(shù)學教材涉及的“數(shù)形結(jié)合”內(nèi)容，精選典型教學素材加以歸類，通過對內(nèi)涵以及價值取向深度思考，形成了數(shù)形結(jié)合思想課堂表達的特點，逐一闡述如下：

1．特點一：內(nèi)容分類

教材涉及的“數(shù)形結(jié)合”內(nèi)容大致分類如下：①數(shù)的認識。如借助數(shù)軸、直尺、圖形、統(tǒng)計圖認識分數(shù)、小數(shù)等；②計算算理。如筆算乘法、分數(shù)加減乘除計算等；③運算定律。如乘法運算律等；④認識圖形。如平面圖形、幾何體面積、周長計算公式等；⑤函數(shù)思想。如正反比例函數(shù)圖象的發(fā)展趨勢、彎曲程度等；⑥典型問題。如植樹問題等；⑦探尋規(guī)律。尋找數(shù)與形的變化規(guī)律，如和的奇偶性、數(shù)與形等。

2．特點二：內(nèi)涵界定

小學數(shù)學數(shù)形結(jié)合是通過數(shù)和形之間的對應關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來解決問題的思想方法。（1）研究的基本對象。即“數(shù)”與“形”，利用“數(shù)形結(jié)合”方法能使“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來，借助于“形”的直觀來理解抽象的“數(shù)”，運用“數(shù)”與“式”來細致入微地刻畫“形”的特征，有效地解決問題。（2）研究的基本方法。“數(shù)形結(jié)合”方法的實質(zhì)是把數(shù)學問題中的運算、數(shù)量關(guān)系等與幾何圖形結(jié)合起來進行思考。以形解數(shù)——借助形的生動和直觀來闡明數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，形為手段，數(shù)為目的；以數(shù)助形——借助數(shù)的簡潔性和概括性來提煉事物（圖形）的本質(zhì)，數(shù)為手段，形為目的。

3．特點三：價值取向

小學數(shù)學課堂通過具體知識內(nèi)容的教學，學生能看到什么？感悟到什么？小學數(shù)學課堂應該讓學生帶走哪些能力？運用“數(shù)形結(jié)合”教學追求“培養(yǎng)學生敏感主動的數(shù)形結(jié)合意識，發(fā)展學生的形象思維與邏輯思維，增強學生解決問題的靈活性，全面提升學生的數(shù)學素養(yǎng)”。

二、數(shù)形結(jié)合的課堂表達根植何處

數(shù)形結(jié)合的課堂表達如何突顯“數(shù)與形”的密切聯(lián)系？如何實現(xiàn)形象思維向抽象思維的轉(zhuǎn)化？

1．關(guān)注直觀到抽象的過渡

起始年段的數(shù)學教學中，學生往往通過實物數(shù)量、幾何圖形個數(shù)、數(shù)字符號逐步抽象概括出數(shù)，把握好由形象直觀到抽象概括的“分寸”尤為重要，教學中應該有坡度逐步過渡。如：一年級“大于號、小于號的認識”。大于號、小于號形狀相似，方向相反，難以記憶。除了用口訣 “大于號，開口朝著大數(shù)笑；小于號，尖尖快把小數(shù)找” 記憶之外，圖1由“實物呈現(xiàn)”，到圖2轉(zhuǎn)變?yōu)橛伞靶未鎸嵨铩钡摹皥D形呈現(xiàn)”，最后轉(zhuǎn)為“符號呈現(xiàn)”。在圖2中，大于號的“形”與用數(shù)描述的式子“5＞4”完美結(jié)合，實現(xiàn)了思維的質(zhì)的三度飛躍。

2．理解數(shù)形結(jié)合表現(xiàn)形式

問題解決往往需要從眾多信息中選取有效信息，分析思考信息之間的關(guān)系。用數(shù)學語言畫圖的方式描述問題信息，可以把信息的抽象敘述變?yōu)橹庇^呈現(xiàn)，達到化繁為簡、化難為易的目的。（1）線段圖表達形式。如：上午賣出雞蛋總數(shù)的一半多10個，下午又賣出余下的一半多10個，最后還剩下65個雞蛋。李奶奶原有雞蛋多少個？

圖3用線段圖形象生動地描述還原了問題，使問題的解決得以簡單化。

如圖4，把正方形看作1，幾何圖形描述等比分數(shù)和的求法，體現(xiàn)極限思想。

3．促進數(shù)形結(jié)合有機融合

引導學生在任務情境中提出和形成問題，通過數(shù)形結(jié)合有機融合解決問題。如《多邊形的內(nèi)角和》通過目標不斷轉(zhuǎn)化發(fā)現(xiàn)、收集和利用信息，權(quán)衡不同方案，產(chǎn)生新想法解決問題，將多邊形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學過的三角形求內(nèi)角和。以下以探究五邊形內(nèi)角和為例。

方法1：在五邊形中心取一點，與五邊形的頂點相連形成5個三角形，觀察五個三角形的內(nèi)角和，與原來五邊形內(nèi)角和相比多出了一個周角，所以五邊形內(nèi)角和為180°×5-360°=540°。

方法2：在五邊形任意一條邊上取一點，與這條邊不相鄰的三個頂點相連，形成4個三角形。觀察4個三角形的內(nèi)角和，與原來五邊形內(nèi)角和相比多出了一個平角。所以五邊形的內(nèi)角和為180°×4-180° =540°。

方法3：從五邊形任意一個頂點出發(fā)，與這個頂點不相鄰的兩個頂點連接，將五邊形分割成3個三角形。觀察3個三角形的內(nèi)角和就是這個五邊形的內(nèi)角和。所以五邊形內(nèi)角和為180°×3=540°。

比較三種方法，將五邊形轉(zhuǎn)化成三角形，3個三角形的內(nèi)角和就是這個五邊形的內(nèi)角和，直接用180°×3=540°，得出多邊形的內(nèi)角和＝180°×（邊數(shù)-2）。

數(shù)形結(jié)合是培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)的有效途徑，課堂中的教學實踐是數(shù)形結(jié)合思想落地的保障，而課堂表達的實質(zhì)是創(chuàng)造，我們期待數(shù)形交融，引領(lǐng)學生研究與交流、引領(lǐng)學生的思考與實踐。