淺談“二次型”在高中數學中的應用

吳明廉

摘 要：高中數學很多考察模塊中都含有“二次型”，我總結了幾個類型題供參考，主要有求解不等式，求參數取值范圍，求數列的最大項，求函數值，恒成立問題，方程的根的個數，單調區間問題等。

關鍵詞：“二次型” 一元二次方程 二次函數

縱觀高中數學的教學過程，我發現在高中的解不等式、指數函數、三角函數、數列、極值、值域、單調性等多個領域都有廣泛應用。本文中所提到的是廣義范圍內的，包括二次函數、一元二次方程、一元二次不等式。很多同學在高中的數學學習過程中，由于不掌握解題的關鍵，無法完美解決問題。針對這類現象，我急學生所想，急學生所急，積累了幾個例子，配以詳細的分析解答過程，以期和大家共勉。

[例1 ]已知不等式ax+bx+c<0（a≠0）的解為x<2，或x>3，求不等式bx+ax+c>0的解

分析：此題要結合二次函數y=ax+bx+c，（a≠0），一元二次方程ax+bx+c=0，考慮二次函數的圖象，一元二次方程的根，結合韋達定理找到系數a，b，c之間的關系，在通過化簡整理的過程，從而達到解出不等式bx+ax+c>0的目的。

解：由不等式ax+bx+c<0的解為x<2，或x>3，可構造相應二次函數y=ax+bx+c，借助圖象可知a<0，且二次方程ax+bx+c=0的兩根分別是2和3，由韋達定理=5，=6可得b=-5a，c=6a，不等式bx+ax+c>0可變為-5ax+ax+6a>0，由于a<0，<0，除以整理得5x-x-6>0，因式分解可得不等式bx+ax+c>0的解為x<-1，或x>。

[例2 ]若關于x的方程1-2cos2x-sinx+a=0有實數解，則實數a的取值范圍是（ ）

A（-∞，） B[-2，] C[0，] D[-1，]

分析：此題通過三角函數公式把cosx化歸為sinx形式，觀察出以sinx為主要元素，構造一個以sinx為主的二次函數，通過配方法，再通過換元法，結合二次函數的圖象求出二次函數的最大值、最小值。

解：因為，以sinx為主要元素配方可得a=sinx-2sin2x+1=-2（sinx-）2+用換元法令t=sinx，可得-1≤t≤1由a=f（t）=-2（t-）2+，（-1≤t≤1）圖象開口向下，由t的范圍可知當t=時a有最大值為，當t=-1時a有最小值為-2。選擇B。

[例3 ]數列{-2n2+29n+3}中的最大項是（ ）

A、107 B、108 C、108 D、109

分析：此題觀察表達式可看出符合“二次型”，構造以n為自變量的二次函數，通過配方找到離二次函數的對稱軸最近的正整數n的值，結合二次函數的圖象得到最大項的值。

解：數列的通項配方得an=-2n2+29n+3=-2（n-）2+…因為n必為正整數且考慮二次函數對稱軸為=7可知正整數7離二次函數的對稱軸最近，∵圖象開口向下∴當n=7時得最大項a7=108選擇B。

[例4 ]已知數列{an}的前n項和sn=n2+2n+5則a6+a7+a8=。

分析：此題觀察表達式可看出符合“二次型”，構造二次函數，代入自變量x的值構造出s8和s5，通過代入求值，再作差得出結論。

解：s8-s5=（82+2×8+5）-（52+2×5+5）=45

[例5 ]已知數列{an}的前n項和sn是n的二次函數，且它的前三項依次是-2，0，6，那么a100=

分析：此題明確指出存在二次函數的條件，提示我們設出二次函數的表達式，通過代入已知數值求出系數a，b，c，確定下來sn，再用數列的性質解出答案。

解：設sn=a·n2+b·n+c（a≠0）代入s1=-2，s2=-2，s3=4解得a=2，b=-4，c=0∴sn=2n2-4n因為s100-s99=a100∴a100=（2×1002-4×100）-（2×992-4×99）=394

[例6 ]已知當0≤x≤3時m≤x-2x+2恒成立，求m范圍

分析：此題可看出題干中x-2x+2符合二次函數的形式，提示我們設出一個對應的二次函數，和一個常函數，先在坐標系中畫出二次函數的圖象，求出二次函數的值域，再結合已知條件的恒成立的要求可得m的取值范圍。

解：構造二次函數y=x-2x+2，0≤x≤3，和常函數y=m，先畫出y=x-2x+2，0≤x≤3圖象，開口向上因為0≤x≤3，可知當x=1時y有最小值y=1，當x=3時y有最大值y=5，得到1≤y≤5，再畫出y=m圖象為水平橫線∴m≤1。

[例7 ]對于m的不同取值，討論關于x的要求方程x-4|x|+5=m的實數根的個數。

<解析>：此題可看出方程的左側x-4|x|+5符合“二次型”的形式，構造函數y=x-4|x|+5，和y=m，兩個函數圖象的交點的個數就是方程實數根的個數。先畫出二次函數y=x-4x+5的圖象，截取y軸右側的圖象，再關于y軸對稱畫出y軸左側的圖象，注意x=0時y=5，且最小值y=1。把坐標系中的函數y=x-4|x|+5的圖象看成背景布，接下來使用運動變化的觀點作為指導思想，從上至下畫出y=m的圖象，觀察兩個圖象的交點個數如何變化。先是有兩個交點，再是有三個交點，再到有四個交點，再到有兩個交點，最后到沒有交點。綜上所述可知1）.當m>5或m=1時兩個圖象有兩個交點，方程有兩個解；2）.當m=5時兩個圖象有三個交點，方程有三個解；3）.當1

[例8]已知函數y=，求函數的單調區間。

<解析>：此函數是一個復合函數，由y=，和u=x復合而成，∵底數<1，函數y=為減函數，對于二次函數u=x開口向上，結合圖象可知，當x≤0時二次函數u=x單調遞減，由復合函數單調性法則：同増異減∴當x≤0時函數y=為增函數；當x>0二次函數u=x單調遞增，∴x>0時，函數y=為減函數，從而可得到單調區間，單調遞增區間為，單調遞減區間為。

以上幾個例子包括了高中數學各個模塊常見的“二次型”的類型題，較為淺顯，意在輔助學生理解應用。