淺談“二次型”在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

吳明廉

摘 要：高中數(shù)學(xué)很多考察模塊中都含有“二次型”，我總結(jié)了幾個類型題供參考，主要有求解不等式，求參數(shù)取值范圍，求數(shù)列的最大項，求函數(shù)值，恒成立問題，方程的根的個數(shù)，單調(diào)區(qū)間問題等。

關(guān)鍵詞：“二次型” 一元二次方程 二次函數(shù)

縱觀高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程，我發(fā)現(xiàn)在高中的解不等式、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、極值、值域、單調(diào)性等多個領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。本文中所提到的是廣義范圍內(nèi)的，包括二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式。很多同學(xué)在高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，由于不掌握解題的關(guān)鍵，無法完美解決問題。針對這類現(xiàn)象，我急學(xué)生所想，急學(xué)生所急，積累了幾個例子，配以詳細(xì)的分析解答過程，以期和大家共勉。

[例1 ]已知不等式ax+bx+c<0（a≠0）的解為x<2，或x>3，求不等式bx+ax+c>0的解

分析：此題要結(jié)合二次函數(shù)y=ax+bx+c，（a≠0），一元二次方程ax+bx+c=0，考慮二次函數(shù)的圖象，一元二次方程的根，結(jié)合韋達(dá)定理找到系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系，在通過化簡整理的過程，從而達(dá)到解出不等式bx+ax+c>0的目的。

解：由不等式ax+bx+c<0的解為x<2，或x>3，可構(gòu)造相應(yīng)二次函數(shù)y=ax+bx+c，借助圖象可知a<0，且二次方程ax+bx+c=0的兩根分別是2和3，由韋達(dá)定理=5，=6可得b=-5a，c=6a，不等式bx+ax+c>0可變?yōu)?5ax+ax+6a>0，由于a<0，<0，除以整理得5x-x-6>0，因式分解可得不等式bx+ax+c>0的解為x<-1，或x>。

[例2 ]若關(guān)于x的方程1-2cos2x-sinx+a=0有實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）

A（-∞，） B[-2，] C[0，] D[-1，]

分析：此題通過三角函數(shù)公式把cosx化歸為sinx形式，觀察出以sinx為主要元素，構(gòu)造一個以sinx為主的二次函數(shù)，通過配方法，再通過換元法，結(jié)合二次函數(shù)的圖象求出二次函數(shù)的最大值、最小值。

解：因為，以sinx為主要元素配方可得a=sinx-2sin2x+1=-2（sinx-）2+用換元法令t=sinx，可得-1≤t≤1由a=f（t）=-2（t-）2+，（-1≤t≤1）圖象開口向下，由t的范圍可知當(dāng)t=時a有最大值為，當(dāng)t=-1時a有最小值為-2。選擇B。……