對稱性在第二類曲面積分計算中的應用

鄧艷

摘 要：第二類曲面積分既是高等數學教學中的一個重點，也是一個難點。其計算方法靈活多樣，本文主要介紹對稱性在第二類曲面積分計算中的應用，這是一種十分有效而又靈活簡便的方法。

關鍵詞：第二類曲面積分；奇偶對稱；輪換對稱

第二類曲面積分的計算既是高等數學教學中的一個重點，也是一個難點。從學員反饋情況來看，總體掌握不是很好，對稱性是積分運算中經常遇到的一種技巧，有效的運用對稱性，可以達到簡化計算的目的。為此，本文不僅給出了當空間區域關于坐標面或原點對稱，且定義在該區域上的函數具有相應的奇偶性時的簡化計算公式，還介紹了輪換對稱性在第二類曲面積分計算中的應用。

一、奇偶對稱性在第二類曲面積分計算中的應用

1.設分塊光滑的定向曲面∑關于xoy平面對稱，∑在xoy平面上方部分記為∑1（方程為z=z（x，y），（x，y∈Dxy）），下方部分記為∑2，又設R（x，y，z）在∑上連續，則：

[∑Rx，y，zdxdy=0，若R關于z為偶數 2∑1Rx，y，zdxdy，若R關于z為奇函數]

證明：

[∑Rx，y，zdxdy=∑1Rx，y，zdxdy+∑2Rx，y，zdxdy]

由[∑1]的方程可得[∑2]的方程：[z=-zx，y，（x，y）∈Dxy]，設[∑1]的法向量與z軸正向成銳角，于是[∑2]的法向量與z軸正向成鈍角，將面積分化為二重積分得：

[∑1Rx，y，zdxdy=DxyRx，y，z（x，y）dxdy]

[∑2Rx，y，zdxdy=-DxyRx，y，-z（x，y）dxdy]

[=-DxyRx，y，z（x，y）dxdy，若R關于z為偶函數，DxyRx，y，z（x，y）dxdy，若R關于z為奇函數。]

兩式相加即得結論。

同理可證對于[∑Qx，y，zdzdx]與[∑Px，y，zdxdy]有類似結論。

2.設分塊光滑定向曲面∑關于原點對稱，記同向對稱的有向曲面為[∑1]和[∑2]，又設[R（x，y）]在∑上連續，則：

[∑Rx，y，zdxdy=0，若R-x，-y，-z=Rx，y，z 2∑1Rx，y，zdxdy，若R-x，-y，-z=-Rx，y，z]

同理對于[∑Qx，y，zdzdx]與[∑Px，y，zdxdy]有類似結論。

二、輪換對稱在第二類曲面積分計算中的應用

輪換對稱是指將坐標軸重新命名，如果積分區域的函數表達式不變，則被積函數中的也作同樣的變化后，積分值保持不變。

即：若[?x，y，z∈∑，?y，z，x，z，x，y∈Ω]則：

[∑fx，y，zdydz=∑fz，x，ydxdy=∑fy，z，xdzdx]

特別地：

[∑fxdydz=∑fydzdx=∑fzdxdy]。

例1.求[I=∑x2dydz+zdxdy+ydzdx]，其中[∑∶z=4-x2-y2]上側。

解：由于[∑∶z=4-x2-y2]關于yoz平面對稱，[x2]是關于x的偶函數，所以[∑x2dydz=0]，

則[I=∑x2dydz+zdxdy+ydzdx=∑zdxdy+ydzdx]。

作[∑1∶z=0（x2+y2≤4）]取下側，

則[∑+∑1zdxdy+ydzdx=2Ωdv=643π]，又[∑1zdxdy+ydzdx=0]，所以[I=643π]。

例2.求[I=∑xdydz+z2dxdyx2+y2+z2]，其中[∑∶x2+y2+z2=R2]內側。

解：[I=∑xdydz+z2dxdyx2+y2+z2=1R∑xdydz+z2dxdy]，

由于[∑∶x2+y2+z2=R2]關于xoy平面對稱，[z2]是關于z的偶函數，所以[∑z2dxdy=0]，

則[I=∑xdydz+z2dxdyx2+y2+z2=1R∑xdydz+z2dxdy=1R∑xdydz]。

由輪換稱有：[∑xdydz=∑ydzdx=∑zdxdy]，于是：

[I=1R∑xdydz=13R∑xdydz+∑ydzdx+∑zdxdy=-13RΩ3dxdydz=-43πR2]

注意：在計算第二類曲面積分時，利用對稱性可以大大簡化計算，但是一定要注意使用的條件。

參考文獻：

[1]張冬燕，劉倩.再探第二類曲線積分和曲面積分的對稱性[J].信息工程大學學報，2016（6）.

[2]李正元，李永樂.2014年考研數學——復習全書[M].北京，中國政法大學出版，2013.

[3]同濟大學數學系編.高等數學（第七版下冊）[M].北京，高等教育出版社.endprint