直線與圓錐曲線綜合解題方法的幾點探討

許光安

摘 要：圓錐曲線是高中數學重要內容，它體現了解析方法和代數方法在刻畫平面曲線方面的強大作用，然而，這部分內容對學生各方面能力要求較高，學生懼怕綜合題和繁雜計算，本文就從解決此類問題，著重介紹了涉及直線與圓錐曲線綜合題的解題方法及策略。

關鍵詞：圓錐曲線 直線 交點 中點弦 定值

圓錐曲線綜合題在高考中多以難題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定、弦長、最值問題等，突出考查數形結合、分類討論、函數與方程等思想方法，要求考生分析和解決問題及計算能力較高，有利于選拔的功能。因此，許多學生對做此題心存余悸，不敢輕易下筆，甚至完全放棄，師生深感遺憾，為了讓自己在教學中這種被動的局面有所扭轉，更好的把握住圓錐曲線的相關問題，結合自己多年的教學實踐，從以下幾個方面進行了探討：

一、直線與圓錐曲線的交點問題的探討：

直線與圓錐曲線的位置關系可通過對直線方程與圓錐曲線方程聯立，將直線L的方程Ax+By+C=0（A、B不同時為0）代入圓錐曲線C的方程f（x，y）=0，消去y（或x）得到關于x（或y）的一元二次方程，如消去y后，得ax+bx+c=0（1）若a=0，當曲線是雙曲線時，直線L與雙曲線的漸近線平行與圓錐曲線只有一個交點，當直線L與雙曲線的漸近線重合時，無交點；當曲線是拋物線時，直線L與拋物線對稱軸平行（重合），此時直線L與拋物線只有一個交點。（2）若a0， =b2-4ac，①>0時，直線與圓錐曲線有兩個交點；②=0時，直線與圓錐曲線只有一個交點；③<0時，直線與圓錐曲線沒有交點。只有一個公共點時，未必相切，如拋物線與平行（重合）于其對稱軸的直線，只有一個公共點，但不相切，而是相交。直線與圓錐曲線的位置關系，分析時注重函數、方程、判別式法、代點法、數形結合等數學方法的培養。

橢圓、雙曲線、拋物線是三種外型上差異很大的幾何圖形，本質上卻有統一的背景和定義，都是平面截圓錐得到的截口曲線；都……