求拋物線方程的三種方法

歐陽威

【摘要】 求解拋物線方程是歷年高考保留節目。破解拋物線方程問題一般有三種方法：一是直接法，二是待定系數法，三是定義法。

【關鍵詞】 數學 拋物線方程

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2018）11-171-01

一、直接法

所謂直接法就是直接利用題中的條件確定焦參數p或根據條件轉化求解拋物線方程。這類問題解題的關鍵是要充分挖掘題中的條件，特別是隱含條件，然后結合方程思想或轉化思想求解。

分析：這類軌跡方程的求解只要直接根據題意通過列方程，結合轉化思想就能破解.解題時要特別注意的是等價變形。

點評：直接法求解拋物線方程問題，實際上是一種求解圓錐曲線的基本策略，破解時要注意的地方是等價變形和挖掘條件列方程。

二、待定系數法

所謂待定系數法就是先設出拋物線的方程，再根據題中的條件，確定焦參數p，這類問題一般要結合方程思想進行，通過方程求解參數。

點評：對于待定系數法求拋物線方程關鍵是用方程思想求參數，通過已知條件列出一元方程，通過一元方程便可化解。

例3.已知拋物線頂點在原點，對稱軸為軸，拋物線上的點（x0，-8）到焦點的距離等于17，求拋物線方程.

三、定義法

所謂定義法就是先判定所求的軌跡符合拋物線的定義，再求出方程，這類問題一般是求出焦參數p，或通過條件轉化求解出焦參數p，破解時注意的地方是要結合分類討論思想，避免漏解或多解。

例4.求下列拋物線的標準方程：（1）焦點（2，0）（2）準線方程為y=1.

分析：焦點、準線明確，可直接利用拋物線方程的定義，從定義出發，根據焦點、準線與方程系數的聯系解題.

例5.求焦點在x軸，焦點到準線的距離為6的拋物線的標準方程。

分析：從定義出發求拋物線方程問題，如果焦點的具體位置不清楚，則需要進行討論，分類求解有關拋物線方程問題。

解：由題意可知p=6，（1）若焦點在x軸的正半軸，方程為y2=12x；（2）若焦點在y軸的正半軸，方程為y2=-12x

點評：焦點到準線的距離為標準方程中的p，我們稱為焦參數。討論焦點位置也是求解拋物線方程時常常遇到的問題。

破解拋物線方程的方法一般是以上三種策略，對于不同的問題要選擇恰當的方法破解，擇其最佳的方案破解拋物線方程問題往往事半功倍，否則就會欲速則不達，因此要注意這三個基本策略的適用條件和應用范圍、解題步驟和技巧。