培養問題意識，訓練問題思維

康堅

[摘 要] 學生問題意識的培養以及問題思維的訓練都是學生數學學習活動中必不可少且尤其重要的環節. 學生一旦具備較好的問題意識和問題思維，對于問題的發現與提出這一環節來講也就具備了最為關鍵的數學能力與素養.

[關鍵詞] 問題意識；問題思維；培養；訓練

從心理學與教學論的理論角度進行問題教學策略探究的文章已經有了很多，本文對此問題的探究是從教學實踐的角度而展開的.

問題意識的培養

雖然學生提出問題應該要有良好的學習氛圍這一基本條件，但是最為關鍵的還是學生必須具備最起碼的提問的意識，這個意識的培養并不是一朝一夕就能達成的，需要教師的點滴培養.

1. 情境教學

生活情境. 問題往往是來源于生活這部大百科全書中的，數學更不會例外，很多的數學知識、概念等都是對生活實際中一些現象、規律的抽象與概括. 因此，數學教學中的概念形成與辨析往往都可以通過相關生活的情境來進行教學. 比如，為了幫助學生理解與區別排列組合這一概念可以進行一下實例的列舉：

例1：（1）春節臨近，3名同學互發短信表示春節的問候，他們一共發了多少條短信呢？如果是5名同學互發短信一共會發出多少條呢？（2）小紅的生日快到了，小蘭準備在5樣不同的禮物中選擇3樣送給她，一共會產生多少種不一樣的選法呢？（3）從南通到北京的火車沿途一共會停靠9個站點，不同票價一共要準備多少種呢？（其中，火車席有軟臥、硬臥以及硬座之分，票價有兒童票、成人票以及學生票之分）面對這個問題，教師可以引導學生只考慮成人硬座票使得問題得以簡化. 排列問題和組合問題之間的區別在這些問題的探討中自然也就十分明了了.

問題情境. 教師有目的、有意識地引導學生在各種情境中進行質疑問難并在探索中積極求解的教學手段我們稱之為問題情境. “問題串”的巧妙設計于數學教學中的應用往往能夠不斷地啟發學生積極思考與提問，學生在一連串的問題引導與探尋中不斷地被帶進更深層次的新的最近發展區，這對于整堂課的教學有效性與目標達成是有著直接的決定性影響的. 云南省數學特級教師于雷曾經表達過這樣的觀點：以問題為載體的數學教學能將學生思維的“魂”和數學課堂教學的根本統統有力地抓住. 事實上，學生運用觀察、實驗、歸納、類比、假設、猜想以及聯想等方法進行數學問題的發現與提出確實需要有效的問題情境來激發和誘導. 上述例1中的生活情境其實也是問題情境的設計，學生的思考在每一個問題中都會得到有效的啟發，而且經過這些并列問題的研究之后學生還提出了這樣的疑惑：“排列和組合這兩者之間有什么必然聯系嗎？”這個問題是恰恰順應知識規律的發展的，組合數的計算這一后續學習內容也正因為這個問題被引導了出來. 經歷過前面幾個問題的探究，學生在教師的稍加引導之下就會挖掘出這兩者之間的聯系（A=AC）了，組合數計算公式的掌握自然不在話下.

2. 變式教學

教師有目的、有計劃地對命題進行諸如問題條件或結論的轉化、問題內容或形式等合理的轉化，我們稱之為變式. 變式中的問題本質在實際應用的各種變化的情境中是不會改變的，但是各種條件、結論、內容或者形式的改變卻能使學生更好地掌握對象的本質屬性. 數學教學中的變式教學能夠使學生進一步熟練基本知識、技能與思想方法并逐步深化，對于數學教學而言，變式教學對于學生知識應用中舉一反三、觸類旁通能力的訓練是十分有效的. 而且，教師如果能夠持久堅持對學生變式教學的引導，學生的變式思維將會得到穩步激發和發展，面對數學實際問題時往往會自覺地去思索問題可能存在的變式，解決一種典型習題就學會解決一類相似問題的本領與能力便是在長久變式教學的訓練中形成的. 例如，“利用導數研究函數單調性”這一知識點的探究中，筆者為學生提供了這樣一道例題：

例2：已知f（x）=x3-2x2-mx+1，如果函數f（x）在區間[-2，2]上呈單調遞減，請問m的取值范圍如何？

筆者首先進行的是這一問題的引導轉化，使得“f（x）≤0在區間[-2，2]上恒成立”這一命題通過問題的轉化而得出，隨后f′（x）max≤0且x∈[-2，2]經過轉化得出. 在這個問題的探究告一段落之后筆者繼續追問學生：“你能對這個問題進行變式嗎？”很快有學生回答：“如果函數f（x）在區間[-2，2]上呈單調遞增，m的取值范圍如何？”但這個問題一經闡述立馬有學生反駁：“應該不會如此容易，f′（x）min≥0才是正確的. ”面對這個情況筆者首先對這兩個學生的發言進行了肯定，并請學生探尋第一位學生所述變式的思維過程，隨后拋出自己的觀點：m的取值在何范圍時函數f（x）在區間[-2，2]上存在單調遞減區間？學生們的思維也一下子活泛了很多：m的取值在何范圍時函數f（x）在區間[-2，2]上存在單調遞增區間？整節課就在一個例題及其變式以及最后單調性問題的總結中結束了.

問題思維的訓練

學生問題意識的初步養成使得學生在良好問題情境下逐步能夠提出問題了，并且問題的數量可能還會越來越大，但其深度、價值等問題質量卻往往不一定有保障，這還得依賴教師、學生進行有效問題思維的訓練才能解決，問題思維的訓練又必須要有教師對數學思想方法的深刻理解以及對學生的科學引導作為保障.

1. 合情教學

數學思想方法的滲透與教學在新課程理念中是受到關注的，高中數學課程將“合情推理”這一內容也做出了單獨的體現，提出了具體的要求：學生在數學實例以及生活實例中能夠對合情推理的含義及其在數學發現中的作用有一定的理解和體會，并學會用歸納與類比的方法進行簡單的推理.

（1）歸納教學. 歸納推理是依據一類事物中部分對象的某種性質繼而推斷出該類事物所有對象都具備該種性質的過程. 數學中概念、定義以及定理等絕大多數都是從大量事例中進行歸納與抽象獲得的. 如多邊形內角和的推理就是歸納推理最好的實例，從三角形內角和、四邊形內角和、五邊形內角和以及六邊形、七邊形等進行演算和推理，最終得出n邊形內角和的公式：（n-2）·180°（n≥3，n∈N）.endprint

（2）類比教學. 類比推理是在兩個對象具備某些相同或相似性質時進行其他可能存在的相同或相似性質的推理. 類比這一重要的思維與推理的方法在數學發展史上是相當重要且必不可少的. 數學教學中運用類比教學的實例也尤其普遍，學習對數函數時用指數函數進行類比，學習余數函數時用正弦函數進行類比，學習等比數列時用等差數列進行類比等，很多數學知識與規律的教學確實離不開這一數學思想與方法.

數學教學中歸納、類比思想的滲透與引導對于學生知識的理解是相當有意義的，學生在歸納、類比的實際應用中往往還能發現新的問題.

2. 矛盾教學

兩個或兩個以上的陳述、想法以及行動之間的不一致我們稱之為矛盾. 數學教學中教師有意設置矛盾往往對于學生認知沖突的形成以及問題意識的激發都是尤為有效的手段. 例如，復合函數求導法則是數學知識中相對比較難以理解的一個知識點，筆者首先要求學生對函數y=sin2x進行求導，很多學生給出了y=cos2x的答案. 筆者對學生的答案不置可否，但繼續引導學生將二倍角公式變形得y=2sinxcosx之后再利用乘法法則進行求導，學生得出了y=2cos2x的這一結果. 前后兩個結果的不一致使得學生形成了強烈的認知沖突并對復合函數的求導法則進行了深入的探究，復合函數求導法則順利得出之后還有學生對于如何證明產生了疑問，雖然這個疑問不是高中階段的學習內容，但我們也因此看到認知沖突的產生對于學生求知欲望的激發卻是相當有力的. 再如，教師還可以列舉一些典型例子來促進學生對條件概率的理解，從學生的慣性思維著手引導學生進行矛盾的探尋，最終形成認知沖突繼而發現問題.

3. 反思教學

對自己的思維過程和結果進行再認識的檢驗便是反思，反思在學習中必不可少，很多新的問題就是在反思過程中被捕捉與發現的. 反思教學是教師對于自身在教學活動中表現出的行為、決策以及結果進行的審視與分析. 這里所說的“反思教學”主要指的是學生這一學習的主體在教師的引導下所進行的有關數學學習活動以及解題策略之類的反思、歸納與總結. 學生的學習活動往往需要教師這個不可缺少的引路人，而且，教師在學生的反思性學習中能夠產生更為有力的促進作用. 反思性學習的引導和實踐往往能令學生更好地學會學習，使得學生在探究性的活動中不斷地增強自身的能力以及創造力，發現學習問題并提出問題也往往發生在這個過程中，學生一旦形成學習反思的習慣，學習中問題的發現與提出也就不是難事了.endprint