微分中值定理及其應用

摘 要：本文簡單介紹了微分中值定理中幾個定理之間的關系，同時給出了微分中值定理在高等數學中的一些應用。

關鍵詞：高等數學；微分中值定理；應用

微分中值定理包括羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理，這一組中值定理是微分學的理論基礎，在微分中值定理中拉格朗日中值定理建立了函數值與導數之間的定量關系，泰勒中值定理建立了函數值與高階導數之間的關系。

一、 微分中值定理間的關系

微分中值定理是一系列中值定理總稱，是研究函數的有力工具。在這一系列定理中拉格朗日定理處于核心地位，因為在拉格朗日定理中，如果f（a）=f（b），那么就可以得到羅爾中值定理，柯西中值定理是其推廣形式，另外如果把泰勒定理中的n看作0就可以得到拉格朗日定理，可以說其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情況或推廣。它們之間的關系如下表所示：

定理1：設f（x），g（x），φ（x）在[a，b]上連續，在（a，b）上可導，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得

f（a）g（b）φ（a）

f（b）g（b）φ（b）

f′（ξ）g′（ξ）φ′（ξ）=0

證明：作輔助函數F（x），

令F（x）=f（a）g（b）φ（a）

f（b）g（b）φ（b）

f（x）g（x）φ（x），顯然F（x）在[a，b]上連續，在（a，b）上可導，又因為F（a）=F（b）=0，根據求導法則和羅爾定理知，ξ∈（a，b），使得

F′（ξ）=f（a）g（b）φ（a）

f（b）g（b）φ（b）

f′（ξ）g′（ξ）φ′（ξ）

特別的：

（1）若令φ（x）=1，g（x）=x，x∈（a，b），f（a）=f（b），可得到羅爾定理的結論：f′（ξ）=0

（2）若令φ（x）=1，g（x）=x，x∈（a，b），可得到拉格朗日中值定理f（b）-f（a）b-a=f′（ξ）

（3）若令φ（x）=1，g（x）≠0，x∈（a，b），則有f（a）g（b）1

f（b）g（b）1

f′（ξ）g′（ξ）0=0，從而可得到柯西定理f（b）-f（a）F（b）-F（a）=f′（ξ）F′（ξ）

二、 微分中值定理的應用

微分中值定理在高等數學中的地位是不容置疑的，且在解題中的應用也是十分廣泛的，微分中值定理反映了導數的局部性與函數的整體性之間的關系，應用十分廣泛。

1. 利用中值定理證明不等式

利用中值定理證明不等式的關鍵是首先利用中值定理得到等式。然后根據中值ξ的取值范圍對所得等式進行適當放大或縮小即可得到要證明的不等式。

【例1】 設a>b>0，證明：a-ba

證明：令f（x）=lnx，利用拉格朗日中值定理，有ξ∈（b，a），使得f′（ξ）=f（a）-f（b）a-b ，即a-bξ=lna-lnb=lnab

又因為ξ∈（b，a），那么有1a<1ξ<1ba-ba

從而有a-ba

2. 證明含f′（ξ）及f（ξ）的關系式

欲證明結論為“至少存在一點ξ∈（a，b）使某個等式成立”，其證明的一般方法是：第一步構造輔助函數F（x）；第二步驗證F（x）滿足中值定理的條件。

【例2】 設f（x）在區間[a，b]上連續，在（a，b）上可導，證明在（a，b）內至少存在一點ξ，使得bf（b）-af（a）b-a=ξf′（ξ）+f（ξ）

證明：方法一：證k=bf（b）-af（a）b-a，將其變形得到bf（b）-kb=af（a）-ka

令F（x）=xf（x）-kx，且有F（b）=F（a），那么F（x）

在[a，b]上滿足羅爾定理條件，于是ξ∈（b，a），使得f′（ξ）=0

即bf（b）-af（a）b-a=ξf′（ξ）+f（ξ）

方法二：令F（x）=xf（x），則F（x）在[a，b]上滿足拉格朗日定理條件，ξ∈（b，a）使得F（b）-F（a）b-a=F′（ξ）

即bf（b）-af（a）b-a=ξf′（ξ）+f（ξ）

3. 證明f（n）（ξ）=0或f（n）（ξ）=k

【例3】 設函數f（x）在[0，3]上連續，在（0，3）內可導，且f（0）+f（1）+f（2）=3，f（3）=1，證明必存在ξ∈（0，3），使f′（ξ）=0

證明：∵f（x）在[0，3]上連續，∴f（x）在[0，2]上連續，根據連續函數的性質知，f（x）在[0，2]上必有最大值M和最小值m，那么m≤f（0）≤M，m≤f（1）≤M，m≤f（2）≤M，

則m≤f（0）+f（1）+f（2）3≤M，由介值定理知，至少存在一點c∈[0，2]，使f（c）=f（0）+f（1）+f（2）3=1

因為f（c）=1=f（3），且f（x）在[c，3]上連續，在（c，3）內可導，所以由羅爾定理知，必存在ξ∈（c，3）（0，3），使f′（ξ）=0

【例4】 設函數f（x）在閉區間[-1，1]上具有三階連續導數，且f（-1）=0，f（1）=0，f′（0）=0，證明在開區間（-1，1）內至少存在一點ξ，使f（ξ）=3

證明：f（x）在x=0點的泰勒展開式為

f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（0）2！x2+f（η）3！x3①

其中η在0與x之間，x∈[-1，1]，在①式中分別取x=1與x=-1得

1=f（1）=f（0）+f″（0）2+16f（η1），0<η1<1②

0=f（-1）=f（0）+f″（0）2-16f（η2），-1<η2<0③

②-③得f（η1）+f（η2）=6。由f（x）在[-1，1]上的連續性，知它在[η1，η2][-1，1]上存在最大值M和最小值m，故有m≤12[f（η1）+f（η2）]≤M

再由閉區間[η1，η2]上連續函數f（x）的介值定理，知ξ∈[η1，η2][-1，1]使得f（ξ）=12[f（η1）+f（η2）]=3

一般來說，證明f（n）（ξ）=0或f（n）（ξ）=k時，如果n=0，那么利用介值定理能夠得證，而當n=1時，需要利用拉格朗日中值定理，當n≥2時，往往需要應用泰勒公式，需要強調的是，當利用泰勒公式時，點x0的選取是關鍵。

參考文獻：

[1]劉章輝.微分中值定理及其應用[J].山西大同大學學報（自然科學版），2007，23（5）：79-81.

[2]張天德.高等數學輔導[M].沈陽：沈陽出版社，2015.

[3]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2002.

作者簡介：

魏建剛，平頂山工業職業技術學院。