導數在高中數學解題中的應用

摘 要：在高中數學學習中，導數是基本內容之一，也是后續(xù)微積分學習的核心內容。新課程標準改革后，導數概念被引入高中數學，不僅是高考的熱點，而且在數學解題過程中也逐漸得到應用。本文以高中生為研究對象，分析了導數知識在數學問題解決中的應用，以提高解決問題的效率，拓展學生的思維，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和實踐能力。

關鍵詞：導數 高中數學解題 應用分析

高中數學教學中，經常利用導數求解如下問題。

一、應用導數幾何含義求解曲線的切線問題

問題一：切點已知；

問題二：切點未知。在求解切線問題中，切點是必要的，所以如果切點未知，需要設出切點，從而列出方程，求解方程。[1]

二、求解函數的單調區(qū)間、極值、最值問題

求解此類問題時，要明確相關的基本概念。這些基本概念中，關于單調性的判斷是最核心的。規(guī)定：在某個區(qū)間（a，b）內，如果f′（x）>0，那么函數y=f（x）在這個區(qū)間內單調遞增；如果f′（x）<0，那么函數y=f（x）在這個區(qū)間內單調遞減。[2]

在求解函數極值時，必須知道在一定條件下的極值解。在解決具體問題時，應注意在特殊條件下討論變量。在這種情況下，解決高中數學問題增加了解決問題的難度。針對這種情況，應注意合理運用數學知識和技能。在解決高中數學知識時，應注意及時鞏固導數知識。我們不僅要分析衍生工具的概念和形象化，而且要理解衍生工具的本質。導數在高中數學問題解決中的應用，不僅鞏固了導數等相關知識，而且促進了高中數學知識與大學知識之間的聯系，降低了高中數學知識學習的難度。[3]

三、應用導數求解不等式恒成立問題

方法1：參變分離后求最值；

方法2：直接轉化為最值（函數含參，需必要的分類討論）

問題一：已知現成的不等式

樣例1：已知函數，設，當時，都有成立，求實數的取值范圍。

樣例2：已知函數，若存在使得，求a的取值范圍。

上述兩道樣例在求解過程中，要關注存在性以及任意性對題目的不同影響。[4]

問題二：涉及兩個函數的不等式問題

樣例1：已知函數，；若時，恒有，求實數a的取值范圍。

樣例2：

已知函數，；若對任意，均存在，使得，求的取值范圍。

在上述兩道樣例中，如果兩邊是相同的自變量，可以移項，構造新函數處理；如果兩邊是不同的自變量，則需要各自求解最值。

問題三：根據題中已知條件、定義進行轉化，尋找不等式

樣例1：已知函數，。若在區(qū)間上單調遞增， 求a的取值范圍。

樣例2：已知函數，設，且函數在點處的切線為，直線//，且在軸上的截距為1。求證：無論取任何實數，函數的圖象恒在直線的下方。

樣例3：已知函數，。當時，若曲線上的點都在不等式組：

所表示的平面區(qū)域內，試求a的取值范圍。

在這組樣例中，題目中沒有直接可用的不等式，需要自己構造不等式之后，再進行處理。

四、求解與函數零點相關的問題

重要轉化：方程根的問題函數零點問題兩個函數圖象交點的問題

問題一：直接利用導數研究原函數的性質，從而解決零點問題

樣例1：已知函數，其中。若在區(qū)間上僅有一個零點，求a的取值范圍。

問題二：以切線為載體的零點問題

樣例2：已知函數。若過點存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍。

問題三：以極值為載體的零點問題

樣例3：已知函數有兩個極值點，求實數的取值范圍。

問題四：隱零點問題的處理

樣例4： 已知函數。證明：曲線總在曲線的上方。

求解過程中，構造新函數：

則有。對于這個超越方程，學生解決起來是有困難的。但是可以根據零點存在定理，判斷這個方程是有唯一根的，姑且稱之為“隱零點”。

具體做法如下：因為，，

且在上單調遞增

所以在（0，）上存在唯一的，使得，雖然無法求出的值，但是可以找到關系式，進而解決后面的問題。

結語

導數在高中數學中的地位是非常重要的。在解題過程中，教師可以利用衍生品的特點幫助學生掌握更多的解題方法和技巧。在此基礎上，簡化習題本身的內容，問題解決的過程會越來越清晰，學生對導數的理解也會越來越深刻。

參考文獻

[1]鄧晗陽.導數在高中數學解題中的應用探討[J].科學大眾（科學教育），2016（12）：142-143.

[2]唐瑞康.導數在高中數學解題中的應用分析[J].求知導刊，2017（32）：56-56.

[3]陳祖靈.試分析導數在高中數學解題中的應用[J].教育，2016（7）：228-228.

[4]林翠琳.利用導數解高中數學題的方法[J].語數外學習（高中版上旬），2017（8）：15-16.

作者簡介

金鑫（1980—），女，民族：漢族，籍貫：吉林省，學歷：碩士研究生，職稱：高級教師。