分段函數(shù)及其在日常生活中的應(yīng)用研究

摘要：所謂數(shù)學(xué)建模，也就是通過使用數(shù)學(xué)方法來對(duì)實(shí)際問題解決的一種方法。通過數(shù)學(xué)建模，對(duì)問題進(jìn)行抽象簡化處理之后，可進(jìn)行一些假設(shè)，并引進(jìn)一些變量，通過這些處理過程，把日常生活中遇到的實(shí)際問題使用數(shù)學(xué)方式來進(jìn)行表達(dá)，并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過借助數(shù)學(xué)方法來作解答。在數(shù)學(xué)建模中，分段函數(shù)模型是一個(gè)重要的模型之一，該模型在我們?nèi)粘Ｉ钪杏休^多的應(yīng)用。鑒于此，本文對(duì)分段函數(shù)模型在日常生活中的應(yīng)用進(jìn)行了分析與研究。

關(guān)鍵詞：分段函數(shù)模型；應(yīng)用；概述

一、 前言

簡而言之，數(shù)學(xué)建模就是通過使用具有某些特征的數(shù)學(xué)表達(dá)式或者是數(shù)學(xué)術(shù)語來描述現(xiàn)實(shí)世界，并研究客觀對(duì)象或者系統(tǒng)所展現(xiàn)出來的規(guī)律。在經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展的過程中，數(shù)學(xué)這門學(xué)科在金融、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理、交通工程等學(xué)科領(lǐng)域的應(yīng)用非常廣。在社會(huì)飛速發(fā)展的過程中，科學(xué)是其發(fā)展的催化劑。當(dāng)今，在很多高科技技術(shù)中，數(shù)學(xué)在其中發(fā)揮著非常關(guān)鍵的作用。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)家及做數(shù)學(xué)相關(guān)研究的人才的要求越來越高。要求數(shù)學(xué)知識(shí)扎實(shí)，通過數(shù)學(xué)理論及思維方法來處理日常生活中遇到的一些實(shí)際問題。在對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行處理的過程中，把復(fù)雜的問題簡單化，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言來描述關(guān)系，從而建立數(shù)學(xué)模型。

二、 分段函數(shù)數(shù)學(xué)模型概述

分段函數(shù)數(shù)學(xué)模型一般是使用一個(gè)函數(shù)表達(dá)式來進(jìn)行表示，但是，也會(huì)有需要用幾個(gè)式子表達(dá)的情況。假設(shè)自變量的取值分別位于不同的范圍，那么得到的函數(shù)表達(dá)式就會(huì)有所差異，這類函數(shù)叫作分段函數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，分段函數(shù)中包括了分類討論的數(shù)學(xué)思想。正是因?yàn)槿粘Ｉ钪械谋姸鄦栴}需要多方面處理，那么分類討論思想就變得非常重要。分段函數(shù)可以作為解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題的很好的一種工具。通過分段函數(shù)數(shù)學(xué)模型，能夠解決日常生活中遇到的很多問題。圖1和圖2為分段函數(shù)。

圖1分段函數(shù)（c）

圖2分段函數(shù)（d）

三、 分段函數(shù)數(shù)學(xué)模型在日常生活中的應(yīng)用

眾所周知，在我們的家庭生活中，經(jīng)常需要進(jìn)行對(duì)賬，但是現(xiàn)在賬單看多了，人就會(huì)很煩惱。隨著物價(jià)的日漸飛漲，我們?cè)谫I東西時(shí)經(jīng)常會(huì)貨比三家。商家也會(huì)很了解客戶的心理，接二連三地推出大量的促銷方案，而在選擇促銷方案的過程中，我們就可以用到分段函數(shù)模型來為我們購買決策提供參考價(jià)值。比如：在某電器專賣店五一優(yōu)惠促銷活動(dòng)中，商家規(guī)定：一次性訂購賣場產(chǎn)品不超過1000元的，不能優(yōu)惠；一次性訂購產(chǎn)品超過1000元，但小于1500元的，可給標(biāo)價(jià)8.8折扣的優(yōu)惠；如果超過1500元，1500元內(nèi)的部分根據(jù)第二條規(guī)定執(zhí)行政策，超過1500元的部分可打6.8折優(yōu)惠。如果某人分兩次購買該電器專賣店的商品，分別付款金額為868元和1258元。但是，假設(shè)他是一次性購買這些產(chǎn)品，需要付費(fèi)多少元呢？

解答：設(shè)未參加優(yōu)惠活動(dòng)前所有付款總數(shù)為p元，參加活動(dòng)后應(yīng)付款額q元

當(dāng)p大于等于0小于等于1000時(shí)，應(yīng)付款額應(yīng)該是p

當(dāng)p大于1000小于等于1500時(shí)，應(yīng)付款額q應(yīng)該是0.88p

當(dāng)p大于1500時(shí)，應(yīng)付款額q應(yīng)該是1500*0.88+（p-1500）*0.68

可得到分段函數(shù)

q=p（0≤p≤1000）0.88p（1000≤p≤1500）300+0.68p（p>1500）

第二次付款的1258是打完8.8折后的價(jià)格，所以要求出未打折前的價(jià)格。即：1258/0.88=1429，則原先所有付款總數(shù)為：1429+868=2297。根據(jù)分段函數(shù)，參加活動(dòng)后應(yīng)付款額是：0.68*2297+300=1861。就如此例，如果此人分開付款參加活動(dòng)的話總付款為：868+1258=2126元，比合并付款多付265元。在生活中，這樣的例子非常多，當(dāng)商品的價(jià)格總價(jià)越高，那么最后得到的價(jià)格差越大。通過使用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析指導(dǎo)和規(guī)劃，對(duì)購買決策提供正確的指導(dǎo)，這樣就能節(jié)省不少資金。

四、 結(jié)語

在科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展的今天，我們的生活實(shí)踐跟數(shù)學(xué)的緊密性越來越大。數(shù)學(xué)建模能夠?yàn)槲覀兊纳詈凸ぷ鲗?shí)際問題提供很多幫助，它能夠給我們進(jìn)行決策提供理論支撐。數(shù)學(xué)建模問題的特征往往是具有開放性的，其通常是沒有規(guī)律可遵循的。通過大量的實(shí)踐，可發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)建模得到的答案可能不唯一，其靈活性較強(qiáng)。因此，我們?cè)谏钪袘?yīng)當(dāng)打破舊有的思維模式，充分調(diào)動(dòng)自己的創(chuàng)造力和邏輯推理能力，從現(xiàn)象看到問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而利用數(shù)學(xué)模型來解決問題。另外，建立數(shù)學(xué)模型有利于培養(yǎng)我們的雙向翻譯能力。另外，數(shù)學(xué)模型還可以使我們科技論文寫作能力提高。在很多的建模競賽活動(dòng)中，需要鍛煉科技論文的寫作能力。在這個(gè)過程中，首先需要對(duì)資料進(jìn)行收集，并在其中運(yùn)用自己的語言表達(dá)，從而為以后的科學(xué)技術(shù)研究奠定基礎(chǔ)。眾所周知，數(shù)學(xué)建模在社會(huì)科學(xué)技術(shù)發(fā)展中的用途越來越廣泛，數(shù)學(xué)建模跟其他學(xué)科交叉的使用是一大亮點(diǎn)。所以，我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的過程中，需要注意基于課本，但是不能受限于課本，靈活學(xué)習(xí)。在練習(xí)的過程中，要結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活來學(xué)習(xí)。通過對(duì)知識(shí)分解重組，進(jìn)行更深刻地學(xué)習(xí)，這樣就能夠使我們思維更加靈活，更加敏捷，而且認(rèn)識(shí)事物更加深刻，為科學(xué)創(chuàng)造打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

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作者簡介：

薛凱文，遼寧省沈陽市，遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)北校。endprint