數列極限的幾種求法

張孟霞+張亞輝+賀振宇+姜廣溢+蔣帥帥+趙哲

摘 要：數列極限理論是微積分的基礎，它貫穿于微積分學的始終，是微積分學的重要研究方法。數列極限是極限理論的重要組成部分，定積分、二重積分、三重積分、線面積分的定義都是用數列極限定義的。數列極限的求法主要有：定義法、初等變形法、歸結原則、夾逼準則、單調有界法、利用兩個重要極限計算、施篤茲公式法、泰勒展開式法、定積分定義法、利用微分或積分中值定理計算、級數收斂的必要條件和求級數和函數法。

關鍵詞：數列極限；求極限方法

一、 初等變換法

用變量代換、恒等變形法將極限化簡，再由極限的四則運算、復合運算求出極限。

二、 歸結原則

歸結原則：設f在U0（x0；δ）內有定義，limx→x0f（x）存在的充要條件是：對任何含于

三、 利用極限存在的兩個原理

1. 夾逼原理：

2. 單調有界原理：

單調遞增（減）有上（下）界的數列必定收斂。

解：由題可知xn+1=11+xn.數列{xn}的前幾項為：1，12，23，35，58，813，…，可以看出整

個數列不是單調的，但奇子數列{x2n-1}單調遞增，偶子數列{x2n}單調遞減。下面我們證明{x2n-1}單調遞增，

{x2n}單調遞減，

四、 利用兩個重要極限

五、 利用施篤茲公式

六、 利用微分或積分中值定理

拉格朗日中值定理：若f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內可導，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）.

積分中值定理：f（x）在[a，b]上連續，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

七、 利用泰勒公式

八、 利用定積分的定義

九、 利用級數收斂的必要條件以及級數的和函數

因此，所求極限為s（1）=78.

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系編，《數學分析》第四版，高等教育出版社.

[2]同濟大學數學系編，《高等數學》第七版，高等教育出版社.

作者簡介：張孟霞，張亞輝，賀振宇，姜廣溢，蔣帥帥，趙哲，中國礦業大學（北京）。endprint