靜電力做功與路徑無關的證明

項芳聰??

摘要：靜電力做功與路徑無關是引入電勢能概念的前提。本文針對部分師生對非勻強電場中靜電力做功與路徑無關證明方法的誤解，提出合理的、且能被中學生接受的證明方法。

關鍵詞：靜電力；做功；路徑

在必修物理課中我們學過，正是由于移動物體時重力做功與路徑無關，同一物體在地面附近的同一位置才具有確定的重力勢能，從而也使重力勢能的概念有了實際意義。

與重力勢能相類比，人民教育出版社教材《物理》選修 3-1第一章第 4 節“電勢能和電勢”中，在引入電勢能概念前，先行證明靜電力對電荷所做的功與路徑無關。

試探電荷q在電場強度為E的勻強電場中沿幾條不同路徑從A點移動到B點，我們計算這幾種情況下靜電力所做的功。

q在沿直線從A移往B的過程中（圖1），受到的靜電力F=qE，靜電力與位移AB的夾角為θ，靜電力對q所做的功為W=Fcosθ·|AB|=qE·|AM|。

q在沿折線AMB從A移往B的過程中（圖1），在線段AM上靜電力對q所做的功W1=qE·|AM|。在線段MB上，由于移動方向跟靜電力垂直，靜電力不做功，W2=0。在整個移動過程中靜電力對q所做的功W=W1+W2。所以W=qE·|AM|。

再使q沿任意曲線ANB從A移往B（圖2）。我們可以用無數組跟靜電力垂直和平行的折線來逼近曲線ANB。只要q的移動方向與靜電力垂直，靜電力都不做功。只要q的移動方向與靜電力平行，靜電力都做功，而這些與靜電力平行的短折線的長度之和等于|AM|。因此，靜電力所做的功還是W=qE·|AM|。

可見，不論q經由什么路徑從A點移動到B點，靜電力做的功都是一樣的。因此，在勻強電場中移動電荷時，靜電力做的功與電荷的起始位置和終止位置有關，但與電荷經過的路徑無關。

這個結論雖然是從勻強電場中推導出來的，但是可以證明，對于非勻強電場，也是適用的。

對于非勻強電場，可能由于高中數學知識所限，教材上只說“可以證明”，至于如何證明，連大致的思路都沒有提供。

筆者聽過一節公開課，授課老師講到這里時，對同學們說，在非勻強電場沿某一路徑移動電荷，可以把整個路徑分成許多很短的間隔，只要每一個間隔足夠小，這些間隔中的電場就可以看作勻強電場，這樣就可以用教材中的推導方法證明在每一個小間隔內電場力做功都與路徑無關。最后再將每小段的功取代數和，就是電荷通過整個路徑時電場力所做的功。因為每個小間隔內電場力做功都與路徑無關，所以全過程電場力做功也就跟路徑無關了。

這樣的證明思路初一聽，好像很有道理，但細一想，卻是不對的。要是這一老師的思路是正確的，按照這一思路也可以證明在感生電場中的移動電荷，電場力做功與路徑無關。因為在感生電場中移動電荷，也可以把整個路徑分割成許多小段，每一小段的電場也是可以看成勻強電場的。可實際上，感生電場是磁場變化時在空間激發的一種電場，它的電場線是閉合的，試想將試探電荷q沿著感生電場的某一條電場線移動一周，電場力做的功為W，那么移動兩周的話，電場力做的功就會是2W。也就是說，感生電場中，電場力做功是與路徑有關的。

那么，到底如何證明非勻強電場中，靜電力做的功與電荷經過的路徑無關呢？

大學物理教材中，在證明“靜電場中電場力做功與路徑無關”的結論時，思路是從庫侖定律和疊加原理出發來證明電場力做功與路徑無關，即先證明點電荷產生的電場中電場力對試探電荷做功與路徑無關，然后再證明任意帶電體產生的電場中電場力做功與路徑無關。

因為中學生沒有學過微積分，照搬大學教材中的積分公式，學生可能聽不懂。不過這一證明思路還是可以向學生介紹的。筆者在教學中，借鑒高中教材中的推導方法，向學生介紹大學教材中的這一推導思路，效果很好。

參考文獻：

[1]普通高中課程標準實驗教科書物理[M].北京：人民教育出版社，2015.

[2]張三慧.大學物理學.力學、電磁學[M].北京：清華大學出版社，2009，2.

作者簡介：

項芳聰，浙江省溫州市，浙江省蒼南中學。endprint